2018年华侨港澳台联考数学真题答案

1绝密★启用前2018年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集1,2,3,4,5,6U，1,2,6A，2,4,5B，则UCAB（A）4,5（B）1,2,3,4,5,6（C）2,4,5（D）3,4,5【点评】考查补集和交集的概念、集合的简单运算，属于简单题。【解析】补集就是剩余的元素，交集就是共同的元素，由已知得3,4,5UCA，而2,4,5B，故UCAB4,5。【答案】A（2）要得到cosyx，则要将sinyx（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移2个单位（D）向右平移2个单位【点评】考查三角函数的平移、诱导公式，但要注意平移的次序，属于简单题。【解析】法一，平移前先利用诱导公式化成同名同符号，由cossin2yxx，由博飞重点强调过的平移口诀：左加右减，得要将sinyx向左平移2个单位。法二：博飞重点强调过的如果感觉化成同名三角函数有困难，则不同名的三角函数平移过程中，只需要把最大值（最高点）平移过去可以了，就像两座一样的山，只需山峰重叠就可以了，sinyx在2x有最大值，而cosyx在0x有最大值，故2x向左平移2个单位变成0x。【答案】C（3）设1322zi，则2zz2（A）1（B）0（C）1（D）2【点评】考查复数的简单运算，属于简单题。【解析】直接套公式得22213133111222222zzzziii。【答案】A（4）若函数21fxax图像上点1,1f处的切线平行于直线21yx，则a（A）1（B）0（C）14（D）1【点评】考查导数的应用，切线方程的求法，属于简单题。【解析】2fxax，在点1,1f处的切线平行于直线21yx，则122fa，故1a。【答案】D（5）已知为第二象限的角，且3tan4，则sincos（A）75（B）34（C）15（D）15【点评】考查同角三角函数值之间的关系，象限角的符号，属于简单题。【解析】法一：sin3tancos4，带入22sincos1，由为第二象限的角，则正弦为正、余弦为负，得34sin,cos55，则sincos15。法二：也可以利用博飞说的快速做此类题的方法，画个直角三角形，找出长度比（不用管正负号），然后利用象限角的符号，秒得34sin,cos55，【答案】C（6）已知0ab，则（A）122ba（B）122ba（C）22ab（D）22ab【点评】考查指数函数的性质，指数不等式，属于简单题。【解析】因为0ab，则ab，又因为2xy是递增函数，则1222bab。【答案】B（7）甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（A）45（B）35（C）25（D）15【点评】考查排列组合概率问题、有特殊要求的优先考虑，属于简单题。3【解析】法一，正面考虑，甲不在两端，还有3个位置，故4455335ApA.法二，反面考虑，总的减去在两端，故44552315ApA。【答案】B（8）2()ln(32)fxxx的递增区间是（A）,1（B）31,2（C）3,2（D）2,【点评】考查复合函数的单调性，利用我们强调的口诀：同增异减，但要注意定义域，属于简单题。我们说过此类型常考的就两种题型：二次函数复合指数函数，二次函数复合对数函数。【解析】先考虑定义域，2320xx，得2x或1x，而lnyt是增函数，只需要找232txx在定义域上的增区间，为2,。【答案】D（9）已知椭圆22221xyab过点34,5和43,5，则椭圆离心率e（A）265（B）65（C）15（D）25【点评】考查椭圆的性质，解方程，属于中档题。【解析】椭圆过点，则点满足椭圆方程，可得2222169125916125abab，观察特点，解得22251ab。【答案】A（10）过抛物线22yx的焦点且与x轴垂直的直线与抛物线交于MN、两点，O为坐标原点，则OMON（A）34（B）14（C）14（D）34【点评】考查抛物线的性质，向量的运算，属于简单题。4【解析】22yx的焦点坐标是1,02，则垂直x轴的直线是12x，带入22yx得1y，故113,1,1224OMON。【答案】D（11）若四面体棱长都相等，则相邻两侧面所成的二面角的余弦值为（A）14（B）13（C）12（D）23【点评】考查正四面体的性质，属于简单题。【解析】四面体棱长都相等就是正四面体，利用博飞总结的性质：如果正四面体的棱长是a，则其高是63a，面上的高是32a，易得正弦值为223，故余弦值为13。因此套博飞的结论快速而准确。【答案】B（12）已知等比数列na的前n项和为nS，4=1S，8=3S，则9101112aaaa（A）8（B）6（C）4（D）2【点评】考查等比数列的性质，属于简单题。【解析】法一，利用博飞强调的等比（等差）数列的分段和原理：等比（等差）数列的232,,nnnnnSSSSS依然是等比（等差）数列，经常练的题，显然91011121284aaaaSS.法二，可以直接解方程，等比数列要做除法，848441131SqqSq，故42q，因此12312441127112SqSq，故127S，所以91011121284aaaaSS。【答案】C二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.（13）坐标原点关于直线60xy的对称点的坐标为____________.【点评】考查点关于直线的对称问题，博飞总结的常考的六种对称关系之一，属于简单题。【解析】设坐标原点关于直线60xy的对称点的坐标为,ab，点关于直线对称就是利用5垂直平分，得116022baab，解得66ab。【答案】66，（14）已知三棱锥OABC的体积为1，111ABC、、分别为OAOBOC、、的中点，则三棱锥111OABC的体积为____________.【点评】考查立体几何中体积问题，中位线，属于简单题。【解析】利用博飞总结的性质：中位线是边长的一半，面积之比是边长比的平方，体积之比是边长比的立方，秒得。【答案】18（15）多项式3411xx中2x的系数为____________.（用数字填写答案）【点评】考查二项式定理，最近四年必考题，属于简单题。【解析】2x的系数为两个式子中2x的系数相加，故为22349CC.【答案】9（16）过点2,3,1且与平面350xyz和230xyz都垂直的平面方程为___________.【点评】考查空间平面方程的求法，联考必考题，属于中档题。【解析】求平面方程的关键是找该平面的法向量，有两种方法，套上博飞总结的两种方法之一即得，平面垂直就是其法向量垂直，法一：利用叉乘，所求平面的法向量121,1,31,2,31,2,1nnn，再套上平面的点法式方程得270xyz；法二：待定系数法求法向量，设法向量,,nxyz，则,,1,1,30,,1,2,30xyzxyz，找其一组得1,2,1xyz，再套上平面的点法式方程得270xyz。【答案】270xyz（17）关于x的多项式321xxax被2x除的余式和被2x除的余式相等，则a6___________.【点评】考查多项式除法，余式定理，联考必考题，属于简单题。【解析】利用多项式除法中的余式定理，设321fxxxax，则22ff，得4a。【答案】4（18）长方体1111ABCDABCD，4ABAD，18AA，EFG、、为111ABABDD、、的中点，H为11AD上一点，则11AH，求异面直线FH与EG所成角的余弦值____________.【点评】考查立体几何中异面直线所成的角，空间想象力，属于中档题。【解析】法一，平移到一个三角形中，求出三边，利用余弦定理，即得.法二，建立空间直角坐标系，用向量分别表示两条直线，套两向量的夹角公式，即得。【答案】4515三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（19）（15分）在ABC中，角ABC、、对应边abc、、，外接圆半径为1，已知222sinsinsinACabB.（1）证明222abcab；（2）求角C和边c.【点评】考查正弦定理、余弦定理、解三角形，属于简单题。第（1）默写正弦定理带入即得，第（2）问用第（1）问的结论即得，博飞平常练过很多遍的题型。【解析】（1）由正弦定理得22sinsinsinabcRABC，所以sin2aA、sin2bB、sin2cC，带入222sinsinsinACabB，得222442acbab，化简得222abcab。（2）由（1）得2221cos222abcabCabab，故3C，所以32sin232cC。（20）（15分）已知数列na的前n项和为nS，12a，0na，112nnnaSS.（1）求nS；（2）求12231111nnSSSSSS.【点评】考查凑等差（或等比）数列，裂项法，属于中等题。博飞总结归纳过的题型，每次测试必出的题型。这类题属于na（或1na）与nS关系式类型，看到此类题后，先看所求问题，就两种考法：若先求na，往下写一下作差，找na与1na的关系；若先求nS，则把na（或1na）7换掉，找nS与1nS的关系。显然此题第（1）问先求nS，说过的三步走，先用11nnnaSS换掉，然后整理，最后下结论。第（2）问考查博飞总结过的裂项法，联考经常考的就两种：一次式乘一次式型，根式加根式型，显然此问是加号，必然是根式加根式型，分母有理化，秒得。【解析】解（1）由112nnnaSS，得112nnnnSSSS，即2212nnSS，故数列2nS是等差数列，公差是2，首项是2221122Sa，所以22212nSnn，因此2nSn。（2）因为111212221nnnnSSnn，所以1223111122213211122nnnnnSSSSSS。（21）（15分）双曲线221124xy，12FF、为其左右焦点，C是以2F为圆心且过原点的圆.（1）求C的轨迹方程；（2）动点P在C上运动，M满足12FMMP，求M的轨迹方程.【点评】考查双曲线的性质，轨迹方程的求法，属于中等题。联考必考的圆锥曲线大题，博飞总结归纳过有两种题型：第一种是套我们的万用模板解决直线与圆锥曲线相交中的中点、长度、面积，过定点等问题（此种题型经常出），第二种是利用关联点关系求轨迹问题（隔三四年就会出一次，比如2014年、2010年，考前预测2018年很可能考，果真如此）。第（1）问求圆的方程，只需找出圆心和半径即可写出。第（2）问利用向量相等，把两点的关系表示一