中考第一轮复习-锐角三角函数

第二十三讲锐角三角函数一、特殊角的三角函数值:α30°45°60°sinα____________cosα____________tanα____________1222323222123313二、直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系:________.(2)两锐角之间的关系:_____________.(3)边角之间的关系:sinA=cosB=___,sinB=cosA=___,tanA=___,tanB=___.a2+b2=c2∠A+∠B=90°acbcabba三、解直角三角形的应用1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线_____的叫做仰角,在水平线_____的叫做俯角.图1上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和__________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=___;坡面与_______的夹角叫做坡角,记作α.所以i=__=tanα.3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角.图2水平宽度lihl水平面hl【思维诊断】(打“√”或“×”)1．锐角三角函数是一个比值.()2．锐角三角函数中，角度是自变量.()3．直角三角形各边长扩大3倍，其正弦值也扩大3倍.()4．由cosα＝得锐角α＝60°.()12，√√×√5．锐角α的正弦值随角度的增大而增大.()6．锐角α的余弦值随角度的增大而增大.()7．坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比.()8．解直角三角形时，必须有一个条件是边.()√××√热点考向一锐角三角函数概念【例1】(2014·巴中中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=则tanB的值为()513，1251312A.B.C.D.1312125【思路点拨】先由sinA＝表示出Rt△ABC中∠A的对边与斜边长，再由勾股定理求出另一条直角边长，利用锐角三角函数的定义求解.513【自主解答】选D.∵sinA=∴设BC=5x，AB=13x，513，22AC12ACABAC12xtanB.BC5则，故【规律方法】根据定义求三角函数值的方法1.分清直角三角形中的斜边与直角边.2.正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k(有时也可以设为1)，在求三角函数值的过程中约去k.3.正确应用勾股定理求第三条边长．4.应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．【真题专练】1.(2014·湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=则BC的长是()A．2B．8C．2D.412，55【解析】选A.因为所以解得BC=2.BCBC1tanA,tanA,AC42BC142，2.(2014·威海中考)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()3101110ABCD102310．．．．【解析】选D.作AC⊥OB于点C，22AC2AO24则，AC2102025,sinAOB.AO1025则【变式训练】如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则cos∠AOB的值是.【解析】连接AC．由网格图知△AOC是等腰直角三角形，设小正方形的边长为1，则∴cos∠AOB＝答案：OC5OA10＝，＝，OC52OA210＝＝．223.(2014·汕尾中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若则cosB的值是()3sinA5，4334A.B.C.D.5543【解析】选B.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以BC3sinA,AB5BC3cosB.AB5热点考向二特殊角三角函数值的计算【例2】(2013·重庆中考)计算6tan45°-2cos60°的结果是()A.4B.4C.5D.5【思路点拨】将cos60°，tan45°的值分别代入计算，即可得出答案．33【自主解答】选D.6tan45°-2cos60°=6×1-2×=6-1=5.12【规律方法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法1.按值的变化：30°，45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是余弦的分子分别是正切分别是2.特殊值法：(1)在直角三角形中，设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,2.(2)在直角三角形中，设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为再根据锐角三角函数的定义推导即可.1,2,3,3,2,1,3,1,3.33,1,1,2,【真题专练】1.(2014·天津中考)cos60°的值等于()【解析】选A.cos60°=133A.B.C.D.32321.22.(2014·凉山州中考)在△ABC中，若|cosA-|+(1-tanB)2=0,则∠C的度数是()A.45°B.60°C.75°D.105°【解析】选C.由题意得，cosA-=0,1-tanB=0，cosA=,tanB=1,∠A=60°,∠B=45°,故∠C=180°-∠A-∠B=75°.121212【方法技巧】锐角三角函数值的应用(1)已知特殊角，求相应角的三角函数值.(2)根据特殊角的三角函数值，求相应锐角的度数．(3)15°，75°角的三角函数值，可通过构造含30°角或45°角的直角三角形求出．3.(2014·白银中考)△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA则∠C=_____.【解析】因为所以∠A=60°，∠B=60°，所以∠C=60°.答案：60°31cosB22，，31sinA,cosB22，4.(2013·齐齐哈尔中考)请运用你喜欢的方法求tan75°＝_____．【解析】如图，作△BCD，使∠C＝90°，∠DBC＝30°，延长CB到A，使AB＝BD，连接AD．∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB．∵∠DBC＝30°＝2∠A，∴∠A＝15°，∠ADC＝75°．设CD＝x(x≠0)，则AB＝BD＝2CD＝2x，答案：2＋BC3CD3x＝＝，ACACABBC23xtanADCtan75CD23x23x＝＋＝＋，＝＝＝＝＋．35.(2014·贺州中考)计算：【解析】原式=201401(32)1sin45.222112.22热点考向三解直角三角形【例3】(2013·常德中考)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝AD＝1．(1)求BC的长.(2)求tan∠DAE的值．13，【解题探究】(1)求BC的长的两个思考:①图中有直角三角形吗?若有,请写出来.提示:图中的直角三角形分别是Rt△ABD,Rt△ADC,Rt△ADE.②能求出BD,DC的长吗?提示:分别在Rt△ABD,Rt△ADC中,求BD,DC的长.(2)求tan∠DAE值的两个思考:①∠DAE在哪个直角三角形中?提示:在Rt△AED中.②如何求∠DAE的对边DE的长?提示:先由AE是BC边上的中线求出CE的长,再由DE=CE-CD求得DE的长.【尝试解答】(1)∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，sinB＝AD＝1，∴AB＝3．∴BD＝在Rt△ADC中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD＋CD＝AD1AB3＝，2222ABAD3122－＝－＝．221＋．(2)∵AE是BC边上的中线，11221DEBCDC2211222221DE2212RtADEtanDAEAD12－＝＝＋＝．－－在中，＝＝＝．【规律方法】解直角三角形的三点注意1.解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据,防止“积累误差”.2.遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.3.必要时,画出图形帮助分析.【真题专练】1.(2014·孝感中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,则▱ABCD的面积是()A.absinαB.absinαC.abcosαD.abcosα1212【解析】选A.作DE⊥AC，垂足为E，∵四边形ABCD是平行四边形，BD=b，ODCODC11ODbDEODsinbsin2211a11SOCDEbsinabsin,222281ABCD4Sabsin.2，，的面积2.(2014·苏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC=.12【解析】如图所示，过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=5,∴BE=BC=×8=4,∠BAE=∠BAC,∵∠BPC=∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得答案：121212122222AEABBE543,BE4tanBPCtanBAE.AE3433.(2013·荆门中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=.35【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∴AB＝10，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5．∵△ADE∽△ACB，答案：3sinA5＝，2222ACABBC1068＝－＝－＝．12DEADDE515DEBCAC684，即，解得＝．1544.(2014·重庆中考)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=求sinC的值．34，【解析】∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=∵tan∠BAD=AD=12,∴BD=9,∴CD=BC-BD=14-9=5.在Rt△ADC中，由勾股定理,得BD.AD3,42222ACADCD12513,AD12sinC.AC13热点考向四解直角三角形的应用【例4】(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处.(参考数据：sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan36.5°≈0.75).(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离.(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处.【思路点拨】(1)过点P作PE⊥AB于点E,在Rt△APE中求PE即可.(2)在Rt△BPE中,求出BP,分别计算出两艘船需要的时间,即可作出判断.【自主解答】(1)如图所示，过点P作PE⊥AB于点E.由题意，得∠PAE=36.5°，∠PBA=45°，设PE=x海里，则BE=PE=x海里.∵AB=140海里，∴AE=(140-x)海里.在Rt△PAE中，解得x=60海里.所以可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离为60海里.PExtanPAE0.75,AE140x，即(2)在Rt△PBE中，PE=60海里，∠PBE=45°,则BP=≈84.8(海里),B船需要的时间为：≈2.83(小时),在Rt△PAE中，=sin∠PAE，∴AP=PE÷sin∠PAE=60÷0.6=100(海里),∴A船需要的时间为:100÷40=2.5.∵2.83＞2.5,∴A船先到达.2PE60284.830PEAP【规律方法】直角三角形解决实际问题的方法1.利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实际问题转化为数学问题,若题中无直角三角形,需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形,再利用解直角三角形的知识求解.2.解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角形,哪条边是角