(文章)集合思想及集合语言在解题中的应用

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共2页版权所有少智报·数学专页集合思想及集合语言在解题中的应用集合是高中数学的基础，也是高考常考的内容之一．集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题．本文将通过几个典型例题的剖析，与大家谈谈集合思想与集合语言与其它知识的综合应用．一、集合与函数例1、已知集合RxxyyP,22，RxxyxQ,2，那么QP等于（）A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D.2yy解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合中y是函数22xy中的y的取值范围，故P集合的实质是函数22xy的值域．而Q集合则为函数2xy的定义域，从而易知QP2yy，选D.评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，从而确定其实质．例2、已知A=23sinxyRx，B=Akkxxk,12sin322cos，若B，求k的取值范围．分析：A集合是函数23sinxy的定义域，而B集合中的方程可简化为：)32cos(21xk，故本题的题意是使方程)32cos(21xk有解的k的取值范围，显然即求函数)32cos(2xy的值域．解：由023sinx，得A=Zkkxkx,32232|，当32232kxk时，可得：354324kxk，∴1)32cos(212xk∴A=[-3,0]二、集合与方程例3、已知RARxxpxxA,,01)2(2，求实数p的取值范围．剖析：集合A是方程x2+(p+2)x+1=0的解集，则由RA，可得两种情况：（1）A=φ，则由0422p，得：04p（2）方程x2+(p+2)x+1=0无正实根．则0)2(0p或0)2(0p（x1x2=10）于是0p例4、已知集合RttxxxtA03422使,集合0222ttxxxtB使，其中x、t均为实数，求BA．剖析：集合A是使方程x2+2tx-4t-3=0的解集为φ的t的取值范围，集合B是使方程x2+2tx-2t=0有解的t的取值范围，于是由0840)34(442221tttt，得23ttBA.三、集合与不等式例5、已知集合A={a|ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立}，B={x|x2-(2m+1)x+m(m+1)0},若A∩B≠Φ，求实数m的取值范围．分析：集合A是使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立的a的取值范围，集合B是不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)0的解集，下面即可用相关知识解决．解：由不等式ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立，可得：(a＋2)x2+4x＋(a-1)≥0(★),(1)当a+2=0时，即a=-2时,(★)式可化为x3/4，显然不符合题意．(2)当a+2≠0时，欲使(★)式对任意x均成立，必需满足0)1)(2(44022aaa，解之得A=2|aa．又可求得B={x|mxm+1},结合数轴，可得：m1.四、集合与解几例6、已知集合20,01,02,2xyxyxBymxxyxA和，如果BA,求实数a的取值范围．剖析：从代表元素(x,y)看,这两个集合均为点集，又x2+mx-y+2=0及x-y+1=0是两个方程，故A∩B≠φ的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共2页版权所有少智报·数学专页x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围．”解：由)20(01022xyxymxx，得01)1(2xmx①BA，方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.首先，由13,0412mmm或得.当3m时，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；当1m时，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10知,方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间1,0内，从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内．综上，所求m的取值范围是1,．例7、已知集合30)1()1(,,123,2yaxayxBaxyyxA，若BA，求实数a的值．解：（1）当a=1时，集合B=Φ，符合题意．（2）当a≠1时，易知A、B两集合均为点集，其中A集合为直线y=(a+1)(x-2)+3(x≠2)上的点集，B集合为直线上的点集，由BA，知两直线无公共点，故又有以下两种情况：①若两直线平行，则-(a+1)=a+1∴a=-1②若直线30)1()1(2yaxa经过点（2,3），则30)1(3)1(22aa，解之得：27,5a．综上：27,5,1a五、集合与导数例8、已知220631)(,27104)(23234xxxxgxxxxf，A=AxxfxBxgx,0)(|,0)(|'，则B中的元素个数为A.有3个B.有2个C.有且仅有1个D.不存在解：由导数的知识可知：A={x|x2-12x+20≤0}＝{x|2≤x≤10},又27104)(234xxxxf，∴)53(420124)(223'xxxxxxxf当x∈A时，易知：0)('xf∴f(x)在区间[2,10]上为增函数而可求得f(2)0,f(10)0,∴方程f(x)＝0在区间[2,10]上有且仅有一解．即集合B中仅有一个元素．