数学百大经典例题――棱锥(新课标)

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-1-典型例题一例1正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．解：正六棱锥的底面周长为24．∴正六棱锥的底面边长为4．在正棱锥ABCDEFS-中，取BC中点H，连SH，BCSH，O是正六边形ABCDEF的中心．连SO，则SO底面ABCDEF∴BCOH．∴SHO是侧面与底面所成二面角的平面角，即60SHO．（1）在Rt△SOH中，3223BCOH，60SHO，∴660tanOHSO．（2）同样在△SOH中，斜高342OHSH，（3）Rt△SOH中，6SO，4BCOB．∴13222OBSOSB．（4）∵SO底面ABCDEF，∴SBO是侧棱与底面所成角，同样在△SOB中，23tanBOSOSBO，∴23arctanSBO，说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a，相邻两侧面所成二面角为120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为a23，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为a21，斜高为a22．典型例题二高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-2-例2如图所示，正四棱锥ABCDP-棱长均为13，M，N分别是PA，BD上的点，且85：：：NDBNMAPM．（1）求证：直线//MN平面PBC；（2）求直线MN与底面ABCD所成角的正弦．分析：（1）要证明//MN平面PBC，只需证明MN与平面PBC内某一条直线平行．为此连AN并延长交BC于E，连PE．可考虑证明PEMN//．（2）若能证明PEMN//，则PEO即为直线MN与底面所成的角．解：（1）连AN并延长交BC于E，再连PE．∵ADBE//，∴NDBNANEN：：，又MAPMNDBN：：，∴MAPMANEN：：，∴MNPE//，又PE平面PBC，MN平面PBC，∴//MN平面PBC．（2）设O为底面中心，连PO，EO，则PO平面ABCD．又PEMN//，则PEO为直线MN与平面ABC所成的角．由85：：：NDBNADBE及13AD，得865BE，在△PBE中，60PBE，13PB，865BE，由余弦定理，得891PE．在Rt△POE中，2213PO，891PE，则724sinPEPOPEP．说明：本题（2）若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE与底面所成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．典型例题三例3斜三棱柱111-CBAABC的底面△ABC是直角三角形，90C，侧棱与底面成60角，点1B在底面的射影D为BC的中点，cm2BC．（1）求证11BCAB；（2）若CBBA--1为30的二面角，求四棱锥11-BCCBA的体积．分析：证11BCAB关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得．解：如图所示，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-3-（1）∵DB1平面ABC，AC底面ABC，∴DBAC1．∵BCAC，∴AC平面BCB1，∴1BCAC．∵1B在底面ABC上的射影D为BC的中点，侧棱与底面成60角，∴四边形11BBCC是菱形，∴11BCCB，∴1BC平面1ACB，∴11ABBC．（2）过C作BBCE1，连结AE．∵AC平面CCBB11，∴CE是AE在平面CCBB11上的射影，∴BBAE1，∴AEC是二面角CBBA--1的平面角，∴30AEC．在Rt△BEC中，360sinBCEC，在Rt△ACE中，由90ACE可得130tan3tanAECECAC．∴23312121CEACSACE，∴ACEBACEBBCBAVVV---11EBSEBSACEACE31311高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-4-EBEBSACE131131BBSACE2233133．∴3322111--BCBABCCBAVV（体积单位）．说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．典型例题四例4如图，在三棱锥ABCP-中，PA底面ABC，BCAC，D、G分别是PA和AB的中点，E为PB上一点，且PBBE31，21：：ABAP．（1）求证：EG平面CDG；（2）求截面CDE分棱锥ABCP-所成两部分的体积之比．分析：由PA底面ABC，可以判定平面PAB平面ABC，且相交于AB，因为G是AB的中点，且ACBC，所以ABCG，于是有CG平面PAB，EGCG．若证EG平面CDG，只需EG与平面CDG中的另一条直线垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系．平面CDE把三棱锥ABCP-分成两部分，显然这两部分具有相同的高线CG．所以，只要找到△PDE和四边形ABED的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．证明：（1）∵PA平面ABC，且PA平面PAB∴平面PAB平面ABC，且相交于AB在△ABC中，∵BCAC，CG是AB边上的中线∴ABCG．∴CG平面PAB∵EG平面PAB，∴CGEG利用两个平面垂直的性质定理可以证明CG平面PAB在Rt△PAB和△GEB中设xPA，则xAB2，xPB3，xBE33，xBG22高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-5-∵61322xxPBBG，61233xxABBE∵PBAGBE，∴△PAB～△GEB∵90PAB，∴90GEB∴PBEG．∵PBDG//利用相似三角形的性质，得到90GEB∴DGEG∵GCGDG，∴EG平面CDG．解：（2）∵APBPDPESPDEsin21APBPBPASPABsin21∵PAPD21，PBPE32∴13sin21sin21APBPEPDAPBPBPASSPDEPAB∴133131--PDEPABPDECPABCSCGSCGVV三棱锥三棱锥∴12---PDECPDECPABCVVV三棱锥三棱锥三棱锥∴截面CDE分棱锥ABCP-为两部分，三棱锥PDEC-与四棱锥ABEDC-的体积之比为1：2．典型例题五例5四棱锥ABCDP-，侧面PCD是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面ABCD是面积为32的菱形，ADC为菱形的锐角．（1）求证：CDPA；（2）求二面角DABP--的大小；（3）求棱锥ABCDP-的侧面积与体积．分析：取CD中点H，侧面PCD底面ABCD，从而CDPA可利用三垂线定理转化为证明CDHA，线面垂直也为二面角DABP--平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决．证明：（1）取CD中点H，连PH、AH，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-6-∵△PCD是等边三角形，∴CDPH，∵面PCD底面ABCD，∴PH底面ABCD，∵等边△PCD的边长为2，∴2CD∴菱形ABCD的边长为2，又菱形的面积是32，∴32sin22ADC，∴23sinADC，又ADC是锐角，∴60ADC，∴△ADC是等边三角形，∴CDAH，PA在平面AC上射影为HA，∴CDPA．解：（2）∵ABCD//，由（1）HACD，PACD，∴AHAB，PAAB．∴PAH是二面角DABP--的平面角，在Rt△PHA中360sin2AHPH，∴45PHA，即二面角DABP--的大小为45．（3）由（2）在Rt△PHA中，可得6PA，在Rt△PAB中，6PA，2AB，∴10PB，66221PABS，在△PDA中，2DAPD，6PA，可得215PADS，在△PCD中，2BCPC，10PB，可得215PBCS，又正△PCD边长为2，∴32432PCDS，∴3156321526侧S，∵3PH，∴23323131PHSV菱形．说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥ABCDV-的高为1，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC所成角为120，且都垂直于底面，另两侧面与底面都成45角，求棱锥的全面积．这里由相交平面VDC与VDA都与底面垂直得到VD垂直于底面，利用VD底面ABCD，一方面落实了棱锥的高为1VD，另一方面几个二面角的平面角都高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-7-能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为22332．典型例题六例6已知三棱锥ABCP-中，PA、PB、PC与底面ABC所成角相等，90CAB，aPBABAC，D为BC中点，E点在PB上且//PC截面EAD，（1）求AE与底面ABC所成角；（2）求PC到平面EAD的距离．分析：由PA、PB、PC与底面所成角相等可得P点在面ABC上射影为△ABC的外心，由于△ABC是直角三角形，可以得到PD面ABC，//PC面EAD可转化为DEPC//，E是PB中点，找出E到面ABC的垂线落实EA与面ABC所成角．C到面EAD的距离可从两方面得到，一方面直接找C到面EAD的垂线，另一方面，用等积法可求点到面的距离．解：（1）∵PA、PB、PC与底面ABC成相等的角，设P在面ABC上射影为O，则有PCOPBDPAO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴PCPBPA且OCOBOA，∴O是△ABC的外心．∵△ABC是直角三角形，且O是斜边BC的中点，∴O点和D点重合，即PD面ABC，∵//PC截面EAD，过PC的平面PBC与平面EAD交于ED，∴EDPC//，∵D是BC中点，∴E是PB中点，取BD中点F，则PDEF//，∴EF平面ABC，∴EAF为EA与底面ABC所成角．∵aPBPAAB，∴aAE23，∵aACAB且90BAC，∴aBC2．又aPCPB，∴△BPC也是等腰直角三角形，∴aBCPD2221，∴aEF42，在Rt△AEF中，662342sinaaEAF，∴66arcsinEAF，即AE与平面ABC所成角为66arcsin．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-8-（2）方法一：∵PD平面ABC，∴ADPD．又∵BCAD，∴AD平面PBC，∴PBAD．由（1）△PBC是直