初二数学经典几何题型及答案

APCDBPCGFBQADE初二数学经典几何题型1．已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．证明如下。首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC是正三角形。2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明:连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．证明：分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ＝（ME＋NF）/2又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO所以角OCB=角NBF而角C0B＝角Rt＝角BNFCB=BF所以△OCB全等于△NBF△MEA全等于△OAC（同理）所以EM＝AO，0B＝NF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BEANFECDMB因为DP//AE，AD//PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，∠PDA=∠AEP已知，∠PDA=∠PBA所以，∠PBA=∠AEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，∠PAB=∠PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE//AD，且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD//BC，且AD=BC所以，PE//BC，且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，∠PEB=∠PCB所以，∠PAB=∠PCB5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形DCBA是正方形所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°作BM⊥PQ则△BPM是等腰直角三角形所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以AB＝[√(5＋2√2)]a6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。ACBPDPADCB由题意得：txvxv82解之得：tvx85经检验得：tvx85是原方程解。∴小口径水管速度为tv85，大口径水管速度为tv25。7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，），且P（，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．解：（1）设正比例函数解析式为，将点M（2，1）坐标代入得，所以正比例函数解析式为同样可得，反比例函数解析式为（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为，1-1-ykx12k=12yx=2yx=1()2Qmm，图xyBhx=2xAOMQP图xyfx=2xBCAOMPQ于是，而，所以有，，解得所以点Q的坐标为和（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，所以当即时，有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x,△PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）.∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.又∵PB=PE，211112224OBQSOBBQmmm△=?创=1(1)(2)12OAPS△=-?=2114m=2m1(21)Q，2(21)Q，--2()Qnn，222242()4OQnnnn=+=-+22()0nn-=20nn-=2OQ2OQ5ABCDPE12H∴PE=PD.②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，∴PE⊥PD.）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD.综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.∵AP=x，AC=2，∴PC=2-x，PF=FC=xx221)2(22.BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22.∴S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212.即xxy22212(0＜x＜2).②41)22(21222122xxxy.∵21a＜0，∴当22x时，y最大值41.（1）证法二：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）.∴PE=PD.②∴∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.ABCPDEFABCPDEFG123∴∠DPE=90°.∴PE⊥PD.（2）①∵AP=x，∴BF=PG=x22，PF=1-x22.∴S△PBE=BF·PF=x22(x221)xx22212.即xxy22212(0＜x＜2).②41)22(21222122xxxy.∵21a＜0，∴当22x时，y最大值41.9、如图，直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出k1x+b-k2x＞0时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10、如图12，已知直线与双曲线(0)kykx交于两点，且点A的横坐标为．12yxAB，4（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积；（3）过原点O的另一条直线交双曲线(0)kykx于两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．(0)kykxAOC△lPQ，图12