数学结构

数学结构基本的数学结构有三类:代数结构、序结构和拓扑结构.机动目录上页下页返回结束§1.代数结构千差万别的数学对象有千差万别的数学运算。集合:逻辑命题：向量：矩阵：数集：不同对象的不同运算却可能遵循完全相同的形式规则。关于运算及其规则的思考引出代数结构的理论。机动目录上页下页返回结束，，，+-，，（数乘）+-，，，+-，，，，，定义在非空集合S上定义一个或几个运算，运算满足一组公理，则称这个集合连同定义其上的运算称为一个代数结构。机动目录上页下页返回结束代数结构的表示：12(S)m；，，n元运算：:SnS代数结构的型：(;)S，，,2221定义若在非空集合G上定义了一个二元运算，且运算满足结合律，则称G为半群。重要的代数结构一、群（group）单位元(幺元)带幺半群(群胚)逆元机动目录上页下页返回结束定义在非空集合G上定义一个二元运算，记为·，称为乘法，且满足：①结合律成立，即对任意的a、b、cG，有)()(cbacba②存在单位元，即存在Ge，使Gaaeeaa有③G中每个元存在逆元，即Ga存在Gb使eabba则称G为群。机动目录上页下页返回结束称交换律成立的群为交换群，或Abel群。若群G的非空子集H关于群G中所定义的乘法也成为群，则称H为G的子群。若作成群的集合是有限集，则称这个群为有限群；否则称为无限群。若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元的乘幂，则称G为循环群。机动目录上页下页返回结束例1自然数全体或正整数全体所成的集合按通常加法成为一个半群，但不成为群.整数集Z按通常加法成为一个群，且是一个无限循环加群.有理数集Q按通常加法成为一个群.整数集Z按通常乘法成为一个半群，但不成为群.非零有理数全体所成的集合按通常乘法成为群。机动目录上页下页返回结束例2Z是整数集，则模n的同余类]1[,],2[],1[],0{[nL}按同余类加法成为群，称为同余类群。模n的同余类群是循环群。例3设A是任意非空集合，G是A到自身的一一对应全体所成的集合，定义G中乘法为对应的复合运算，G按这样定义的乘法成为一个群，称为A上的对称群（symmetricgroup）。机动目录上页下页返回结束例4全体n阶有理数方阵记为nQ。令G对于矩阵乘法构成群。由于矩阵乘法是非交换的，于是G为非交换群。例5A是非空集合。A的幂集对并和交运算都是带幺半群。例6字母表上的所有非空字母串集合对于字的连接运算构成半群。机动目录上页下页返回结束{;,0}nGAAQA例722{cossin;1,2,.}nkkUiknnn22cossininn21(){1,,,}nnU循环群群的直积2,1GG两个群21GG的运算：21GG定义),(),(),(21212211yyxxyxyx),(21GG构成群)1,1(21GG单位元：逆元：),(),(111yxyx二、环（ring）定义在非空集合R上定义两个运算+与·，分别称为加法与乘法，若R按加法成为交换群，且乘法满足结合律和对加法有分配律，则称(R,+,·)为环。若乘法还满足交换律，称这样的环为交换环。机动目录上页下页返回结束例8整数集Z按通常的加法与乘法成为一个环.有理数集Q、实数集R、复数集C按通常的加法与乘法都成为环。按通常的加法与乘法作成无单位元的交换环。机动目录上页下页返回结束().nMF例10矩阵环例9偶数集{2;}nnZ三、域（field）定义设F是一个有单位元1（不等于0）交换环。如果F中的每个非零元都可逆，则称F为域。通常以0表示加群的零元，称为F的零元；以1表示乘群的单位元，称为F的单位元。若F是一个有单位元1（不等于0）的环，如果F中的每个非零元都可逆，则称F为除环。机动目录上页下页返回结束域是交换的除环。例11{;,}HC（1）H构成的子环。2()MC（2）H是非交换环。（3）H是除环。0,A1221.A例12有理数集Q、实数集R、复数集C按通常的加法与乘法都成为域。有理数域Q、实数域R、复数域C通称为数域。最小的数域机动目录上页下页返回结束四、同态,同构定义设A和B是两个同型代数结构，f是A到B的映射，如果f保持所有的运算，则f称是同态映射。如果映射f还是双射，则称f是同构映射。机动目录上页下页返回结束群同态),(),(2,1GG两个群21:GGf)()()(,,1bfafbafGba称为群同态，如果11()(())fafa例13正实数乘群与实数加群同构。例14在同构的意义下循环群只有两类：若生成元a是无限阶，则G=(a)(Z,+);@n.Z若生成元a是n阶，则G=(a)@机动目录上页下页返回结束:lnfRRxx§2.序结构一、关系XYO1－11－1I：相等关系.R1：大于关系.R2：小于关系.机动目录上页下页返回结束例1N+为正整数集合，R表示N+上的“整除关系”。例2△表示三角形集合，R表示△上的“相似关系”。特别地，若B,AR×称R为A到B的二元关系。12,,,nAAA是集合，称12,,,nAAA的子集nAAAL21上的一个n元关系。定义R为空关系全关系A,AR×称R为A上的二元关系。机动目录上页下页返回结束二、映射与二元关系BAf:令{}yxfByAxyxRf)(,),(且则fR是A到B的二元关系.实质上，fR完全刻画了映射。反之，关系未必可看作映射。机动目录上页下页返回结束三、关系的性质1.自反性：2.对称性：3.反对称性：4.传递性：.,xRxAx.,,,,xRzyRzxRyAzyx.,,,yxyRxxRyAyx.,,yRxxRyAyxAAR机动目录上页下页返回结束例所有字母串组成的集合*S上定义关系：1.长度相等关系.具有自反性，传递性，对称性、但不具有反对称性。不具有自反性，对称性，但具有传递性．具有自反性，反对称性，传递性，但不具有对称性。４．相同字符关系．不具有反对称性。2.长度大于关系.３.子串关系.机动目录上页下页返回结束四、关系的表示maaaAL,,21,nbbbBL,,21,BAR1.关系矩阵定义矩阵其中称M为R的关系矩阵。nmijrM)(jijiijRbabRar当当,1,0布尔矩阵机动目录上页下页返回结束R=(rij)mnS=(sij)nl关系矩阵定义矩阵乘法的运算规则：P=RS=(pij)mlljminksrpkjikijLLL,2,1,2,1},2,1|{其中机动目录上页下页返回结束取大运算取小运算A，则有(1)R是自反的，当且仅当关系矩阵M的对角线上所有元素为1。(2)R是对称的，当且仅当关系矩阵M是对称矩阵。(3)R是反对称的，当且仅当ji时，0jiijrr。A,AR×(4)R是传递的，当且仅当关系矩阵M满足.2MM机动目录上页下页返回结束2.关系图{}naaaAL,,21，A,AR×把A中每个元素用一个点表示（称为结点）,如果jiRaa，那么从结点ia出发向结点ja画一有箭头的弧，如果iiRaa，则在结点ia为圈）。此图称为R的关系图。上画一条自封闭的弧线（称机动目录上页下页返回结束五、关系的运算1.并、交、逆运算定义设R是X到Y的关系,令R1={(y,x)|(x,y)R}，则R1是Y到X的关系,称为R的逆关系。R1关系矩阵是R的关系矩阵的转置。机动目录上页下页返回结束定义设R是X到Y的关系,S是Y到Z的关系。令RS={(x,z)XZ|存在yY使得(x,y)XY且(y,z)YZ}.则RS是X到Z的关系,称为R与S的合成(复合)关系。2.合成运算XYYZRSRS机动目录上页下页返回结束例医生对几个患者进行检查和寻问,并制作了如下一张症状检查表(P1,P2,P3,P4,P5表示患者;S1,S2,S3,S4,S5表示症状):S1S2S3S4S5P1是是P2是是是是P3是是是P4是是是P5是是是是1010011101100111010111101如果R是患者和症状间的关系,S是症状和疾病间的关系,则RS将是患者和疾病的关系。机动目录上页下页返回结束六.闭包运算S满足：具有某种性质（如自反性，传递性，对称性）。(2)对任何具有该性质的关系T,如果则称S是R的该性质闭包。,AAR;)1(SR;TSTR机动目录上页下页返回结束定理是R的自反闭包;是R的对称闭包。1)()2(RRRrAIRRi)()1(baRZnbaRtn,);,()()3(.)(,1nkkRRtnA是R的传递闭包。机动目录上页下页返回结束1kkR七．等价关系定义A上的自反，对称，传递关系称为A上的等价关系。记aRxAxxa,][（等价类）定理R是A上等价关系，则Aba,（1）当时，aRb][][ba当时，bRa[][]abAaAa][)2(AaaRA][/（商集）机动目录上页下页返回结束定义,A集族nAAAL,,21如果满足：（1）niAAi1,（2）jiAAji,（3）niiAA1则称为A的一个分类或划分.等价关系与划分：若R是X上的一个等价关系,则X/R是X的一个划分,称这个划分是由R诱导的划分。反之,由X的一个划分可以导出一个等价关系R:xRyx与y在同一个子类中.机动目录上页下页返回结束定理集族A是的一个划分，定义A上关系R为：则R是A上的等价关系，且,AniAi,2,1;LiiAyAxixRy,,.,2,1;niARAiL机动目录上页下页返回结束八．序关系１.定义非空集合P上的自反、反对称、传递关系叫作集合P上的偏序关系（或半序关系），序结构称为偏序集。,P设是偏序集，且若P中不再有元素c使则称b复盖a。),(PP,,Pba,ba,bca2.Hasse图用小圆圈代表偏序集中的元素，当时，把代表b的圆圈画在代表a的圆圈之上，当b复盖a时，用线段把它们连接起来，称此几何图形为偏序集的Hasse图。ba机动目录上页下页返回结束3.极大元与极小元（1）若P中没有元素b使，则称a为极大元。（2）若P中没有元素b使，则称a为极小元。baab),(PaP。是偏序集,4.最大元与最小元),(P,,Pba是偏序集,（1）若，有，则称a为最大元。（2）若，有，则称b为最小元。PxaxPxxb机动目录上页下页返回结束5.上确界与下确界若有，则称a为S的上界。,SxaxPaPSP,),,(若S的上界集中有最小元，则这个最小元称为S的上确界，记为SupS。机动目录上页下页返回结束若S的下界集中有最大元，则这个最大元称为S的下确界，记为InfS。6.序同态,序同构在度量理论中，有两个重要概念——序同态,序同构。RXf:度量是用一个数值去反映对象某一性质的量的大小。即f(x)的数值反映了所关心的性质的“大小”。有序如X是要考查的人群，关心的是某种病的流行状况，病的状况：无病轻度感染重症感染病危指标的大小应与病的轻重吻合，用数学语言描述就是同态映射。),(111PP),(222PPf:21PP若1,Pba)()(21bfafba则称f是序同态。当f是1-1对应时，称f是序同构。机动目录上页下页返回结束§３．格论初步一、基本概念1.定义偏序集),(LL称为格，如果,,Lba},{supba},{infba和都存在.例1),(R是格.例2),2(X是格.机动目录上页下页返回结束例3对于一个群G，设}|{GHHL，),(L是格，其中][},{sup2121HHHH2121},{infHHHH2.运算},inf{},sup{babababa并运算交运算