初中数学建模教学初探

初中数学建模教学初探——从“哪种排法更省”说起宁波市新城第一实验学校刘生根摘要“数学教育，源于现实，富于现实，应用于现实。”随着数学新课程改革的不断深入，重视数学知识与现实生活的联系，已成为数学教育发展的趋势。数学建模将实际问题抽象为数学模型，然后用数学方法求解模型。当前，在初中阶段教师对数学建模教学还不够重视，同时也缺乏一些可以借鉴的经验，本文通过课堂案例为载体，剖析当前初中数学建模教学的现状，并进行归因分析，在此基础上提出数学建模教学的一些初步策略。关键词数学建模教学数学模型一、课堂案例2008年11月，我在给学生上《圆》的练习课时，选用了湖北省黄冈市2003年的一道中考题：一个长方形的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟，打开烟盒的顶盖后，20支香烟排成三列，如图1所示，经测量，一支香烟的直径为0.75cm，长约为8.4cm。（１）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（用准确数表示）；（２）制作这样的一个烟盒，至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合部分，3取1.73，结果精确到0.1cm）。以下是讨论实录。师：你们能够从题意获取哪些信息？生1：顶盖ABCD的长AD＝一支香烟的直径×７，而顶盖的宽AB呢……生2:老师，顶盖的宽AB是不是香烟直径的23呢？生3画出了图２，并回答：AB＝２×（一支香烟的半径＋1OＥ）＝一支香烟的直径＋２1OＥ，从而可以计算四边形ABCD的面积；同时，知道了香烟的长，烟盒表面积就可以求出来了。师：你能够抓住香烟的排列规律来分析问题，我们都应该向你学习。这是一道取材于香烟盒上的数学问题，解决这个问题需要应用圆和解直角三角形的有关知识。下面请大家合作求解。解：（1）如图2，作O1E⊥O2O3，△321OOO是边长为43cm的等边三角形，383234360sin211OOEO，∴421437,4333438332ADAB，)cm(166336343334212ABCDS四边形.(2)制作一个烟盒至少需要纸张为)cm(1.144)4.84214.843331663363(22.我正准备小结本题的解法时，有一个学生突然冒出了一句话：20支香烟的排法很多啊，为什么不按照上、下各10支（10、10排法）来排呢，这样计算香烟盒的材料还方便多了。——是啊，我也见过扁的香烟盒，究竟哪一种排法更省纸呢？师：既然这两位同学提出了一个新的问题，我们大家一起来探个究竟吧。为了研究方便起见，我们把图１的排法称之为＂品＂字型排法（彼此相邻的三支香烟截面圆的圆心构成等边三角形的三个顶点），把图３的排法称之为＂井＂字型排法（彼此相邻的四支香烟截面圆的圆心构成正方形的四个顶点）。学生开始动笔计算，我在教室里巡视……生1（大多数）：算出来啦，矩形EFGH的面积＝EF×EH＝（一支香烟的直径×2）×（一支香烟的直径×10）＝)cm(25.112075.022。此时制作一个烟盒至少需要纸张)cm(3.173)4.85.14.85.725.11(22。生2：按“品字型”排列，烟盒顶盖面积是144.1cm2，按“井字型”排列，烟盒顶盖面积是173.3cm2，难怪大多数烟盒采用“品字型”排列哦……很多学生明白了为什么，沉静在喜悦之中。此时我在想，现在学生的探究热情高涨，要因势利导，不能就此罢休。师：比较两种香烟的排法，易知：“品”字形排法比“井”字形排法更加节省纸张。下面请分别计算一下：在两种排法中，20支香烟的截面积各占烟盒顶盖面积的百分之几，我们把这个百分率称为“空间占用率”，用e表示。学生计算。“品字型”排法：%1.82166336320)275.0(21e；“井字型”排法：%5.7825.1120)275.0(22e，教师板书：12ee，且%6.321ee.师（感叹）：由于空间占用率相差3.6%，造成了每包香烟177.3－144.1＝29.2cm2纸张的浪费，成千上万个烟盒的浪费可大了！（突然发问）：是不是“品字型”排法一定比“井字型”排法节省空间呢？大家都到过超市，林林总总的货品整齐地排列着，方便顾客的选购，若我们小心查看架上堆满各式各样圆罐商品的排列，会发现既有“品字型”，也有“井字型”的摆放方式。究竟哪种方式最节省空间呢？老师给你们一个新的问题：设半径为r的圆罐数目为N，放置圆罐货架的长度和宽度分别为a和b，空间占用率e（用百分率表示）为圆罐横截面总面积与货架面积之比，即%1002abrNe……（*）假设圆罐尽占架上的空间，请研究圆罐的不同排列方式的空间占用率e的大小。事实上，我们只须考虑相邻两罐之间的空隙如何改变e的值。学生分小组探究：对于“井”字型排法，学生们处理起来相对容易，在巡视的过程中发现了有十多个同学得出了如下结论。圆罐总数＝直行数目×横行数目，即24)2()2(rabrbraN，代入（*）式得%5.78%1004井e。有趣的是，同学们发现了井e不受rba、、等值的影响。对于“品字型”排法（如图4），学生有些茫然，关键是N难以确定，在课堂上显然无法完成探究任务，我把这个问题留给了学生课下思考。课下我参与了学生的探究活动，得到了如下结果：设每隔一行的圆罐圆心之间的最短距离为x2，可得rrx330cos2。设m为货架横行排列的圆罐数，则xmrb)1(2，把rx3代入，化简得)2(311rbm若横行的每行圆罐数目皆为n，则)12(nra，得)1(21ran。因此圆罐总数mnN，即)]2(311)[1(21rbraN，空间占用率品e%100))(()]2(311)[1(2%1002rbrarbraabrN。由此可知，品e的值决定于（)ra和)(rb的值，举例说明：“品字型”排列的空间占用率品e（%）3481013456637476786586576788075865767881注意到%5.78井e不受rba、、等值的影响，表中只当6,13rbra时，方有井品ee，可见提高货架的空间利用律要根据货架的长、宽和圆罐的直径才能作出选择。这一实际问题到此得到较满意的解决。二、教学反思这个探究过程就是一个数学建模的过程，首先是将实际问题抽象为一个数学模型，然后用数学方法求解模型，最后对这个实际问题作出合理的解释。在这个过程中，学生收获的不仅仅是知识，而是经历了一个从具体到抽象，从特殊到一般的做研究的过程。在建模过程中，学生的科学探究兴趣得到了培养，数学应用能力得到了培养，真正体会到数学来源于生活，又应用于生活的道理，从而在情感价值观上对数学有一个更加理性的认识。a/rb/r然而在我们的平时教学中，学生很少有机会进行这样的数学建模活动，为什么会出现这样的问题呢？第一，目前的基础教育长期受应试的压力，改革总是放不开手脚，我们教师总是在为考试而教学，为解题而探究，对学生的数学应用能力的培养不够在意，即使有数学建模的机会，通常也会用自己的讲解代替了学生数学建模过程，长期下来，学生建模能力就很弱，缺少用数学的眼光观察生活，感受不到数学的价值，背离了数学教育的正确价值取向，导致学生对数学学习的兴趣不浓。第二，就数学建模本身来说，对学生的要求比较高。实际问题通常数据繁多，题目长，新名词多，信息量大，学生理解起来有一定的困难，在心理上对此有一定的排斥。数学建模活动由于难度较大，通常凭一个人的力量是无法完成的，需要同伴的互助，老师的指导。由于学生平时课业负担较重，课后很少有精力去思考这类问题。第三，当前，数学教育教学活动中缺少数学建模的平台，特别是学生缺乏对周边事物进行观察的兴趣，也不善于进行观察，教师也没有对学生提出此类要求，缺乏对学生进行正确引导和评价。三、策略初探重视对学生数学应用能力的培养，对提高他们学习数学的兴趣，提高他们的数学素养，具有重大的社会价值。学习数学不能仅仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用。只有如此，才能使所学数学富有生命力，体现数学的价值。而数学建模活动是培养数学应用能力的重要载体。下面从如何开展数学建模教学谈几点策略。第一，转变教育观念，树立正确的数学教育观加强数学应用能力的培养，引导学生自觉地应用数学知识去观察、分析和解决生产生活中的实际问题，已成为当前国内外数学教育的重要理念。生活是数学的源泉，教师要引导学生留心观察学校生活、社会生活、家庭生活，同时有目的地开展一些课外活动，为他们提供观察生活的环境和机会，激发他们热爱生活的情感，养成留心生活的好习惯，在生活中感受数学，在意把简单实际问题用数学方法来解决，让孩子从中获得丰富的感性知识的积累，养成自觉应用数学的良好习惯，从而为数学建模活动的开展奠定了良好的基础。无论是应用题的教学还是数学运算、数学论证的教学，常常能够从生活中找到原型，但传统的教学却忽视了这一点。因此学生普遍感觉数学知识抽象，难学。引导学生观察生活，发现数学问题的生活原型，则能使学生认识到这些抽象的数学知识都来自具体的事物，学生的学习积极性将大大提高，教学效果就要好得多。第二，发挥新教材优势，培养应用兴趣与旧教材相比，华师大版、浙教版的教材非常重视知识的应用。教材中学习素材的呈现力求体现“问题情境----建立数学模型----解释、应用与拓展”的模式，围绕所要学习的数学主题，选择有意义的、对学生具有一定挑战性的、有利于一般学生发展的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中，学习数学建模，判断解的合理性，进而获得相应的数学知识、方法与技能。对于数学教材中充分数学化了的问题，为了使学生更好地了解数学的思考方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，教师必须善于挖掘生活中实例做一些适当的“还原”工作，使之具有一定的实际意义。第三，组建数学建模小组，加强数学建模教学如何舍弃实际问题中的非本质因素，抽象出问题的数学本质，建立适当的数学模型，称为数学建模。数学建模是问题解决的一种教学模式，与传统意义上的数学应用题是有区别的，它是指从实际问题出发，提炼出某个数学模型，用数学方法解决实际问题，在这个过程中，充满了分析、归纳、抽象等思维活动以及化繁为简、特殊化、一般化等思想方法，只有这样，才能使实际问题迎刃而解。组建一支由数学爱好者组成的建模小组，成立一个由数学老师和信息技术老师组成的指导小组，定期开展数学建模讲座，组织开展一些数学建模比赛，并给学生以发展性评价，不失为一种有效的培养方法。综上所述，数学建模教学是实现人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展的良好载体。参考文献：[1]张行涛，郭东岐.新世教师素养[M].首都师范大学出版社.2003[2]中国人民大学书报资料中心.中学数学教与学[J].中国人民大学出版社，2005.4：9[3]王建平.教师新概念—教师教育理论与实践[M].中国轻工业出版社.2002[4]数学课程标准研制组.全日制数学课程标准（实验稿）解读[S].北京师范大学出版社.2002