航天器动力学03-轨道要素_684006699

2011年9月23日星期五Page1任课教师：蒋方华助理研究员办公室：逸夫技科楼1211室,62795926email:[e-mail]个人简介2011年9月23日星期五Page2•学习和工作经历2000.9-2004.7清华大学工程力学系本科2004.9-2009.7清华大学航天航空学院博士研究生2009.7-2011.6清华大学航天航空学院博士后2011.6-???清华大学航天航空学院教师•研究领域航天器编队飞行(博士课题)高精度卫星轨道建模与计算(载人航天交会对接项目)深空探测小推力轨道优化(博士后期间)本人简介轨道要素2011年9月23日星期五Page3§1.2轨道要素前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，导出了一些积分常数（），根据轨道运动方程，只有六个参数是独立的。,,,he原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的初始位置和速度：，也可以取。),,,,,(000000zyxzyx,,,he直角坐标2011年9月23日星期五Page4223ddtrrr333000xxryyrzzr222rxyz如果给定初始条件：000000,,,,,xyzxyz就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。直角坐标如果用航天器的初始位置和速度来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解微分方程才能确定航天器的位置，不方便。),,,,,(000000zyxzyx轨道要素2011年9月23日星期五Page5另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动轨迹为圆锥曲线，如果已知：（1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位；（2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）；（3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上，则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器位置。轨道要素解决方案2011年9月23日星期五Page6解决方案除了p、e外再引入四个量，可以用这六个独立变量来描述航天器的轨道运动。1cospref已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥曲线的统一方程（轨道方程）为：i、Ω、ω、p(a)、e、τ在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数来描述轨道的状况:。这些量称为轨道要素，或轨道根数。坐标系2011年9月23日星期五Page7定义地心赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，XY平面为地球赤道面，X轴沿地球赤道面与黄道面的交线，指向春分点(白羊座)，Z轴为地球自转轴，指向北极。太阳黄道面春分点方向：春分时刻地心与日心的连线为了定义轨道根数，有必要先介绍地心赤道惯性坐标系。为了定义轨道根数，有必要先介绍地心赤道惯性坐标系。地心赤道惯性坐标系要素定义是否真的惯性系？2011年9月23日星期五Page8i表示轨道倾角，动量矩h与Z轴的夹角。Ω表示升交点赤经，升节线ON与X轴的夹角。ON表示升节线，是轨道平面与地球赤道平面的交线。τ为过近地点时刻。ω表示近地点幅角，升节线ON与e的夹角。p为轨道的半通径。e为轨道的偏心率。轨道要素的定义YZXOihNeSrft要素意义2011年9月23日星期五Page9轨道倾角i和升交点赤经Ω表示了轨道平面在空间中的方位；近地点幅角ω表示了轨道的长轴方向；半通径p和偏心率e表示了轨道的大小及形状；这六个量完全确定了航天器的运动状况。过近地点时刻τ表示了航天器在轨道中的相对位置。轨道要素的意义YZXOihNeSrft真近点角讨论：奇异情况2011年9月23日星期五Page101cos()pre2(1)1cosaeref其中f是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。真近点角f的变化就是航天器的轨道角速度。根据几何关系有NSOfrapaeb注意：轨道要素或轨道根数i、Ω、ω、p、e、τ都是常数，但是轨道角或真近点角f是随时间变化的。如果求出f的变化规律，则航天器的运动完全确定…注意：轨道要素或轨道根数i、Ω、ω、p、e、τ都是常数，但是轨道角或真近点角f是随时间变化的。如果求出f的变化规律，则航天器的运动完全确定…真近点角真近点角平角速度e2011年9月23日星期五Page11为便于计算真近点角f，先推出轨道运行周期、平均角速度，再引入平近点角M和偏近点角E。32aT由几何关系及面积定律12abhT22(1)1hppaebe32nTa因此轨道平均角速度n为：3224aT开普勒第三定律平均轨道角速度平均轨道角速度时间积分2011年9月23日星期五Page12圆轨道：……椭圆轨道：作变量代换，得1tantan212feEesinEeEnt抛物线轨道：33222tantan232fftq双曲线轨道：作变量代换，得1tantanh212feHesinheHHnt时间积分时间积分E、H：新的角度量23200(1cos)ffrpdftdfhef时间积分：椭圆情况2011年9月23日星期五Page13时间积分：椭圆为例时间积分：椭圆为例20frtdfh2222211xaeyaae椭圆直角坐标方程：2cos,1sinxaEeyaeE参数化方程：1cosraeE221cos1sin,1cos1cosaefaefxyefefcos,sincos,sinEEff211cosedfdEeE23001cosfEradfeEdEh极坐标方程化为直角坐标方程：+SOrxy平偏近点角2011年9月23日星期五Page14OEfS偏近点角E：椭圆轨道存在内、外接圆，航天器在内、外接圆上的投影点与椭圆中心对应的夹角。如图。平近点角M：航天器从近地点开始按平均角速度n转过的角度。3()()Mntta平近点角与偏近点角平近点角与偏近点角1tantan212feEe角度关系2011年9月23日星期五Page15EeEMsinEeeEfcos1coscos根据上式可由平近点角M迭代求出偏近点角E、再求出真近点角f。从而确定航天器的运动。各角度的关系见章仁为“卫星轨道姿态动力学与控制”，p5－7见章仁为“卫星轨道姿态动力学与控制”，p5－72(1)1cosaeref3()Mta因此，利用轨道根数可以很直观地表示航天器的运动，并且只需求解代数方程。因此，利用轨道根数可以很直观地表示航天器的运动，并且只需求解代数方程。求微分方程与求代数方程的比较？开普勒方程开普勒方程2011年9月23日星期五Page162.29852.29862.29872.29882.29832.29842.29852.29862.29872.29882.29892.299024681002468101yE2sinyMeEEeEMsin求解开普勒方程几种方法（1）直接求解非线性方程（Matlab中有求解函数fsolve,solve）（2）几何法求解sinEMeE设：M=2;e=0.4设1yE2sinyMeE两条曲线的交线就是解。数值迭代2011年9月23日星期五Page17（3）数值迭代sinEMeE0510152022.12.22.32.41.令E1=M，按下式迭代，直到En与En-1之差小于给定误差2.000000000000002.363718970730272.280706481142682.303368174943952.297382740943452.298978589232422.298554145828442.298667108143902.298637049354532.298645048242032.298642919699582.298643486116842.298643335390122.298643375499332.298643364826052.298643367666262.298643366910470.36371897073027-0.083012489587590.02266169380127-0.005985434000500.00159584828897-0.000424443403980.00011296231547-0.000030058789370.00000799888750-0.000002128542450.00000056641725-0.000000150726720.00000004010921-0.000000010673280.00000000284022-0.00000000075580迭代10次，误差为10-6迭代20次，误差为10-11E的迭代值迭代误差1sinnnEMeE牛顿法2011年9月23日星期五Page18（3）数值迭代sinEMeE2.牛顿法：令E1=M，代入下式迭代2.0000000000000002.3118146917122782.2986636038935952.2986433671176152.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693172.2986433670693170.311814691712278-0.013151087818683-0.000020236775980-0.000000000048298000000000000迭代3次，误差为10-5迭代4次，误差为10-11E的迭代值迭代误差1sin1cosnnnnnMEeEEEeE2011年9月23日星期五Page19重要的公式1cospref2hrfp(1cos)hrfefpsinrhrefp32aT3nasinMEeEMnt21pae2a2221he2011年9月23日星期五Page201.证明椭圆参数方程中的参数E满足图示几何关系，并推导cosE和sinE与f的关系式，以及cosf和sinf与E的关系式OEfS2.假设万有引力公式如下，k取实数，不一定为2，对于二体问题，能得出什么结论？（以通过理论分析验证各个首次积分为主）kGMmrrrF作业2cos,1sinxaEeyaeExy