博士数学论坛原创高代部分总结(初稿)

1高代总结禹帆2高代总结一.标准型方法:变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然看命题里的量是否在该种变换下不变，即找变换下的不变量。其方法分两步,先对标准型验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。例子：（1）矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩=不为零子式的最高阶数。（先证相抵标准型000rI成立，再用初等变换过渡）（2）正定矩阵有正定的平方根矩阵。（先看对角矩阵，再用正交相似变换过渡）（3）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解。（即矩阵的满秩分解）（先分解相抵标准型000rI，再用初等变换过渡）（4）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。（它在相似变换下的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵。所以先单独证明这个命题，再用相似变换过渡到一般情形）二不变量方法变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相似、不合同,以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。相抵的完全不变量是秩，相似的完全不变量是初等因子，不变因子，行列式因子。相似不变量有：行列式秩③迹④特征多项式和特征值⑤交结数例如：1）行列式等于特征值乘积；2）线性方程组有解等价于两个秩相等。总的来说是一句话，尽量把命题、事实用不变量来描述。(注:其实标准型方法和不变量方法不可分，总是要把一个命题和一种变换联系起来。所以着眼于变换类型，有几句：１，如果条件结论只有乘法和秩条件，肯定是初等变换理论，可以考虑初等变换法。２，如果条件中有多项式（没有对称、反对称），可以用相似变换化简为对角型或Jordan标准型。３，如果又有对称矩阵，又有多项式，只能用正交相似变换。４，对于可交换问题，可以用相似变换或者正交相似变换。５，对于对称矩阵，如果结论是正负定或者行列式大于小于0，考虑用合同变换。６，如果一个公式等式两边没有逆矩阵，也没有行列式在分母上，则可以考虑扰动方法，先对可逆矩阵情形证明，再取极限到不可逆矩阵。)3三矩阵语言中的六大基本方法矩阵分块的方法初等变换的方法③降阶和升价的方法④运用标准单位向量的方法⑤运用特征值的方法⑥运用矩阵标准型的方法核心的思想方法是降阶（打洞！！！）降阶的基本思想很简单，即把高阶矩阵问题通过打洞等技巧化为低阶矩阵问题。实现这一思想的步骤，是将原矩阵A用若干初等变换化为分块上（下）三角阵：3210AAA或2310AAA分块对角矩阵},...,,{21sAAAdiagA，iA没有公共的特征值，则与A交换的矩阵B也必然也是分块对角矩阵。换言之，当把A按特征值分块的时候与A交换的矩阵B也就同时被分块了。分块对角矩阵},...,,{21sAAAdiagA可逆它的主对角线上的每个子矩阵iA都可逆，且逆矩阵},...,,{112111sAAAdiagA。分块对角矩阵},...,,{21sAAAdiagA的特征多项式等于它的主对角线上的子矩阵iA的特征多项式的乘积。④分块对角矩阵},...,,{21sAAAdiagA的最小多项式等于它的主对角线上的子矩阵iA的特征多项式的最小公倍数。⑤分块对角矩阵},...,,{21sAAAdiagA有Jordan型每个子矩阵iA都有Jordan型且它们合起来就是A的Jordan型⑥1111100BCBAABCA⑦*0BCA****0BACBAAB4四：线性映射语言的六大基本方法运用线性同构的方法运用线性包（降阶）③运用线性变换（线性映射）的各种特殊子空间的方法④运用正交化的方法⑤运用空间分解为子空间的直和，特别是分解为某个线性变换的不变子空间的直和的方法（标准型）⑥适当选基底（在内积空间中，则是选取正交基的方法）5五：矩阵语言与线性映射语言的相互转化原理：设V和V分别是是域F上n，s维线性空间，则V到V的线性映射Д与它在V的一个基和V的一个基下的矩阵A的对应是线性空间),(VVHom到)(FMns的一个代数同构，即),(VVHom)(FMns矩阵语言转化为线性映射语言：直接把矩阵看成线性变换或者是对称双线性函数的度量矩阵(如果是对称矩阵），然后用这种对象的理论处理，或者重新选基底来得到等价于原命题的不同的形式。举例如下：若A，B是实对称矩阵，且A是正定，则AB的特征值全是实数把A看做内积，B看成双线性函数，使用一个表示定理：欧式空间上对称双线性函数f可以唯一一个线性变换T,满足：f（x，y)=(Tx,y)(等号右边表示内积）线性映射语言转化为矩阵语言：对于一个线性变换，适当选基底。在教材中求极大线性无关组和求齐次线性方程组的基础解系都可以理解为选基底。对角化就是选特征向量为基底。我们就是要选出一个基底，使得在该基底下，线性变换对应的矩阵的形状尽可能地简单，这和标准型方法是统一的。6六：摄动法摄动法是矩阵理论中的常用方法，它利用连续函数的性质将一般矩阵问题的讨论转化为对非异阵的讨论。有一些题目的证明在可逆阵的情形比不可逆的情形简单得多。矩阵计算中摄动法常常与矩阵打洞技巧一起用。7第一部分：矩阵的运算和特殊矩阵1矩阵乘积的几种写法设mnijnsijbBaA)(,)(，则msijcABC)(，其中kjnkikijbac1nmnnmmnbbbbbbbbbAB.........),...,,(21222211121121=),,(2111221111nnmmmnnbbbbbbnnnnnnaaaaaaaaaAB212222111211n21=nsnssnnaaaaaa22111212111④mmAAAAAB,,,,,,21212用标准单位向量行第jnj100100可以把矩阵A与它的任一列，任一行，任一元素，任一子矩阵联系起来,ijjinji,,2,1,矩阵与它的任一列：jjA矩阵与它的任一行：iiaA~④矩阵与它的任一元素：ijjiaA8⑤矩阵与它的任一子矩阵：lkjjjiiilkAjjjiiiA21212121特殊矩阵1初等矩阵用初等矩阵左（右）乘一个矩阵A，相当于对A作了一次相应的初等行（列）变换2基本矩阵只有一个元素是0，其余元素全是0的矩阵称为基本矩阵，（i.j)元为1的基本矩阵记作ijE。性质如下：设,nsijaA则ijsinjijEaA11用ijE左乘一个矩阵A，相当于把A的第j行搬到第i行的位置，而乘积矩阵的其余行全为0行；用ijE右乘一个矩阵A，相当于把A的第i列搬到第j列的位置，而乘积矩阵的其余列全为0列。特别地，iljkklijEEE，iljkklijEaAEE基本矩阵的应用举例：1与所有矩阵可交换的矩阵一定是数量矩阵。只要取一列njEj,,2,11即可2与所有行列式为1的n级矩阵可交换的一定是数量矩阵只要取njEIEIj,,3,2,,121即可93对角矩阵用一个对角矩阵左（右）乘一个矩阵A，相当于用对角矩阵的主对角元素分别分别去乘A相应的行（列）4上（下）三角矩阵两个上（下）三角矩阵A与B的乘积还是上三角矩阵，且AB的主对角线等于A与B的相应主对角元的乘积。5对称矩阵设A,B是对称矩阵，则AB为对称矩阵AB=BA6(待续。。）10第二部分：矩阵的秩1本质：矩阵的秩是从矩阵的行（列）向量组的线性相关性的角度提炼出来的信息，它刻画了矩阵的行（列）至多有多少个线性无关的向量。线性映射像空间的维数。矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩=不为零子式的最高阶数（i)给你一个s×n矩阵A，我们如何找它具有最高阶数r的子式？答：实际上，它就是A的行向量组的一个极大线性无关组与A的列向量组的一个极大线性无关组交叉位置的元素按原来的排法组成的r阶子式反过来，A的任意的不为0的r阶子式所在行（列）构成A的行（列）向量组的一个极大线性无关组。（ii）给你一个矩阵A，如何求出它的列（行）向量组的一个极大线性无关组？答:直接对A进行初等行变换，化为行阶梯形，主元所在列就是列向量组的一个极大线性无关组。而求行向量组的一个极大线性无关组，则要先对它进行转置，进行初等行变换，化为行阶梯形，主元所在列，即把它看成原来的行向量组，便是一个极大线性无关组。(注意，如果直接对A进行行变换，化为行阶梯形，主元所在行并不一定是行向量组的一个极大线性无关组，这是因为初等行变换虽然都不会改变行，列向量组的秩，但是不同之处在于，初等行变换不改变列向量组的线性相关性，但是明显会改变行向量组的线性相关性。)2矩阵的秩是相抵（一系列初等行列变换)关系下的完全不变量设数域上ns矩阵A的秩为r，则A相抵于000rI3关于秩的基本不等式（i）rankBrankABArankBArankrankBrankA)(),({},max{(ii))00()0(BArankBCArank且当A（或B)是可逆方阵，或C为零矩阵时等号成立。（iii）},min{)(rankBrankAABrank（iv）rankBrankABArank)(（v）（Sylvester不等式）：设mnnsBA,，则nrankBrankAABrank（vi）（Frobenius不等式）)()()()(BrankABCrankBCrankABrank114列满秩与行满秩矩阵（i）对m×n列满秩矩阵B，必存在n×m行满秩矩阵A，使得nIAB（ii）平行地，对n×m行满秩矩阵A，必存在m×n列满秩矩阵B，使得nIAB即：列满秩矩阵可以从左端消去，行满秩矩阵可以从右端消去。这个结论在做分块矩阵运算时候很有用。记A为“乘A映射”：,mnFFAxx，则⑴A为单射Ax=0只有零解A为列满秩矩阵A有左逆(2)A为满射Ax=b总有解A为行满秩矩阵右逆(3)A为双射Ax=b有唯一解A为可逆矩阵特别地，当n=m时，此时为线性变换（算子），(4)有A是单射A是满射A是双射0detA125秩的降阶定理（i）第一降阶定理设A是nm阵DCBA的非异顺序主子阵，则BCADrArDCBAr1另外一种形式设D是nm阵DCBA的非异顺序主子阵，则)()(1CBDArDrDCBAr（ii）第二降阶定理设A与D分别是r阶与s阶非异阵，B与C分别是sr阵与rs阵，则)()()(11CBDArArDrBCADr136满秩分解怎么求一个矩阵A的满秩分解呢？147证明秩不等式的方法总结证明秩不等式的方法有矩阵的初等变换和几何的方法，矩阵的方法大多数时候是最方便的。应用矩阵方法的根据是就是上面已经列出了的;或且当A（或B)是可逆方阵，或C为零矩阵时等号成立。基本思路就是从准对角矩阵出发，用初等变换化成三角形的分块矩阵，来应用上面这个引理。例1:证Frobenius不等式：例215例316例417例518例6这道题巧妙地运用了线性空间的维数公式，线性方程组可以看成一个特殊的线性映射，即是nK到mK的线性映射，而这种线性映射是我们最熟悉的。它们的关系是由零度公式联系起来的。矩阵方法：19例72021228秩与矩阵方程线性方程组bxA有解),()(bArankAr