机器人运动学

第6、7讲机器人位置运动学KinematicsofRobotics机器人正向运动学（运动学正解）已知所有连杆长度和关节角度，计算机器人手的位姿机器人逆向运动学（运动学逆解）已知机器人手的位姿，计算所有连杆长度和关节角度机器人运动学分析步骤和内容一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换(连杆参数/连杆坐标系及D-H连杆变换)二、机器人运动学方程(运动学方程/典型机器人运动学方程)三、机器人逆运动学(机器人运动学逆解有关问题/典型臂运动学逆解)一、机器人连杆参数及其D-H坐标变换在驱动装置带动下，连杆将绕或沿关节轴线，相对于前一临近连杆转动或移动。（一）连杆参数（一）连杆参数•连杆的尺寸参数连杆长度ai：两个关节轴线i和i+1沿共垂线的距离；连杆扭角αi：两个关节轴线i和i+1的夹角；•相邻连杆的关系参数连杆偏置di：沿关节i轴线方向，两个共垂线之间的距离；关节转角θi：垂直于关节轴线的平面内，两个共垂线之间的夹角；关节变量•旋转关节：关节转角θi是关节变量，连杆长度ai、连杆扭角αi、连杆偏置di是固定不变的；•移动关节：连杆偏置di是关节变量，连杆长度ai、连杆扭角αi、关节转角θi是固定不变的；（二）转动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换转动连杆坐标系的建立•坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合；•坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节；•坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi：（1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点；（2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；（3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；转动连杆坐标系的建立•首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与O1重合；•末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定坐标系{n}与{n-1}平行；再看转动连杆参数的含义•连杆的尺寸参数连杆长度ai：Zi和Zi-1沿Xi的距离，总为正；；连杆扭角αi：Zi-1绕Xi转至Zi的转角，符号根据右手定则确定；•相邻连杆的关系参数连杆偏置di：Xi-1沿Zi-1至Xi的距离，沿Zi-1正向时为正；关节转角θi：Xi-1绕Zi-1转至Xi的转角，符号根据右手定则确定；转动连杆坐标系的D-H变换•转动连杆的D-H参数为θi、ai、αi、di，其中关节变量是θi。这四个参数确定了连杆i相对于连杆i-1的位姿，即D-H坐标变换矩阵Ai。•坐标系{i-1}经过下面四次有序的相对变换可得到坐标系{i}：（1）绕Zi-1轴转θi；Rot(Zi-1,θi)（2）沿Zi-1轴移动di；Trans(Zi-1,di)（3）沿Xi轴移动ai；Trans(Xi,ai)（4）绕Xi轴转αi；Rot(Xi,αi)•由于以上变换都是相对于动坐标系的，根据“由左向右”的原则可求出变换矩阵：10000),()0,0,(),0,0(),(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiidcssascccscasscscxRotaTransdTranszRotA（三）移动连杆坐标系及连杆的D-H坐标变换移动连杆坐标系的建立移动连杆坐标系的规定：•坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合；•坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节；•坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi：（1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点；（2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴线的交点；（3）当关节i轴线和关节i+1轴线平行时，取关节i+1轴线与关节i+2轴线的公垂线与关节i+1轴线的交点；移动连杆坐标系的建立移动连杆前的相邻连杆坐标系的规定：•坐标轴Zi-1：过原点Oi且平行于移动关节i的轴线；•坐标轴Xi-1：沿移动关节i-1轴线与Zi-1轴线的公垂线,指向Zi-1轴线；•坐标轴Yi-1：按右手直角坐标系法则确定；•坐标原点Oi-1：关节轴线i-1和Zi-1轴的公垂线与Zi-1轴的交点；移动连杆坐标系的建立•首连杆0：基座坐标系{0}是固定不动的；Z0轴取关节1的轴线，O0的设置任意，通常与O1重合；•末连杆n：工具坐标系{n}固定在机器人的终端，由于连杆n的终端不再有关节，约定坐标系{n}与{n-1}平行；再看移动连杆参数的含义•由于移动连杆的OiZi轴线平行于移动关节轴线移动，OiZi在空间的位置是变化的，因而ai参数无意义。连杆i的长度在坐标系{i-1}中考虑，故参数ai=0。原点Oi的零位与Oi-1重合，此时移动连杆的变量di=0。移动连杆坐标系的D-H变换•移动连杆的D-H参数为θi、ai、αi、di，其中关节变量是di。用与求转动连杆坐标系相同的方法可求出移动连杆的D-H变换矩阵：1000000),()0,0,(),0,0(),(iiiiiiiiiiiiiiiiiidcsscccssscscxRotaTransdTranszRotA二、机器人运动学方程（一）运动学方程•机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成。•给每一个连杆在关节处设置一个连杆坐标系，该连杆坐标系随关节运动而运动。二、机器人运动学方程1、A矩阵和T矩阵•用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换。•A1表示第一连杆对基坐标的位姿，A2表示第二连杆对第一连杆位姿……•则第二连杆对基坐标的位姿为•手爪相对于基座的位姿6543216AAAAAAT212AAT注意前后顺序二、机器人运动学方程2、手爪位姿的表示位置矢量P：两手指连线的中点（手爪坐标系的原点）；接近矢量a：夹持器进入物体的方向（手爪坐标系的Z轴）；方向矢量o：指尖互相指向（手爪坐标系的Y轴）；法线矢量n：垂直手掌面的方向（手爪坐标系的X轴）；111aoaaooaon10006zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonTT二、机器人运动学方程3、机器人运动学方程•由手爪相对于基座的两种位姿表示，可得：•方程左边是手爪相对基座的位置和姿态，方程右边是各连杆A矩阵的乘积（是n个关节变量的函数），上式称为机器人的运动学方程。65432161000AAAAAApaonpaonpaonTTzzzzyyyyxxxx＝典型机器人运动学方程•圆柱坐标臂（PRP）参数连杆θidiaiαi10d1002θ20a2-90º30d300321332211),0,0()2/,(),(),(),0,0(AAATdTransAxRotaxTransZRotAdTransAπθ1000010001222322222322dsacdcscasdsc球面（极）坐标臂（RRP）x0z0y0z1z2x1x2z3x3参数连杆θidiaiαi1θ1d10-90º2θ2d2090º30d300θ1θ2三个连杆长度分别为：d1、d2、d3，其中d3是变量3213322111),0,0()2/,(),0,0(),()2/,(),0,0(),(AAATdTransAxRotdTransZRotAxRotdTransZRotAπθπθ100001232212213211211221321121dcdcscdssdssccssdscdscscc转动坐标臂（RRR）Z3X3Z1Z2X1X0X2Z0参数连杆θidiaiαi1θ10090º2θ20a203θ30a303213332211)0,0,(),()0,0,(),()2/,(),(AAATaTransZRotAaTransZRotAxRotZRotAθθπθ•PUMA560六自由度机械手10000010000011111csscA1000100002222222222dsacscascA1000010003333333333dsacscascA10000010000044444csscA10000010000055555csscA10000100000066666csscA654321AAAAAAT为：机器人末端位置和姿态该机械手末端的位置方程如下：)(])([2546122234523542361dssdscasdcssccdcPx)(])([2546122234523542361dssdccasdcssccdsPy2223454235236)(sacdscsccdPz三、机器人逆运动学•1)问题:已知手部位姿,求各关节位置•2)意义:是机械手控制的关键65432161000AAAAAApaonpaonpaonTTzzzzyyyyxxxx＝（一）机器人运动学逆解有关问题•存在性：对于给定的位姿，至少存在一组关节变量来产生希望的机器人位姿；如果给定机械手位置在工作空间外，则解不存在。（一）机器人运动学逆解有关问题•唯一性：对于给定的位姿，仅有一组关节变量来产生希望的机器人位姿。对于机器人，可能出现多解。•机器人运动学逆解的数目取决于关节数目、连杆参数和关节变量的活动范围。一般，非零连杆参数越多，运动学逆解数目越多（多至16个）。•如何从多重解中选择出其中的一组？应根据具体情况而定，在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的准则来择优，使每个关节的移动量为最小。•由于工业机器人前面三个连杆的尺寸较大，后面三个较小，故应加权处理，遵循多移动小关节、少移动大关节的原则。（一）机器人运动学逆解有关问题•解法：封闭解法和数值解法•在终端位姿已知的条件下，封闭解法可给出每个关节变量的数学函数表达式；•数值解法则用递推算法给出关节变量的具体数值；•封闭解法计算速度快，效率高，便于实时控制；但不容易求解。经研究证明：若机器人有三个相邻关节的轴线平行或交于一点，则可求得封闭解（二）典型臂运动学逆解•圆柱坐标臂（PRP）：关节变量是d1、θ2、d31000010001222322222322dsacdcscasdscTzyxpdpsacdpcasd12223222322223appdyx),(2tan),(2tan322yxppAdaAzpd1•球坐标臂（RRP）关节变量是θ1、θ2、d3100001232212213211211221321121dcdcscdssdssccssdscdscsccTzyxpdcdpcdssdpsdscd123122131221322222223dpdppdzyx),(2tan122222dpdppAzyx),(2tan),(2tan222221yxyxppAddppA•转动坐标臂（RRR）作为作业课堂完成•PUMA560型机器人“机器人运动学逆解一般解法”有兴趣者自学课后作业•具有转动关节的三连杆平面机械手如图，关节变量为θ1θ2θ3，试规定各连杆的坐标系，列出D-H参数表并列出运动学方程，求逆解。