计算流体力学第二章 理论基础(2)

ikxkeAxuoxu0,)(0,txikkkeAtxukkkkkkkki21kk21,设初值条件为：设解的一般形式为：(2-7-2)其中为复数，并且若将写成：其中为实数。七.差分数值解的耗散(Dissipation)和频散(Dispersion)性质1.微分方程解的耗散或频散特性nnnnxuvxuatu2考查方程：(2-7-1)解的性质)()()(0112,txiktktxiktkkkkkeAeeAtxu则：将(2-7-2)式代入(2-7-1)方程，得：)(02)(0)()0(txikknnnntxikktxikkkkkkeAikveikAaeikA)(020][)]([txikknnnntxikkkkkeAikveaikA2)()(nnnnkikvaik即kkki21111212222111)(mmmmmmmmkkkvikviaik）（）（111212221211)(mmmmmmmmkkkvikvaikk）（）（12221mmmmkkvk）（121211)1()(mmmmkkvak将代入:akkvkmmmmk})1({121211iakttkvitikmmmmk})1({1212111121212211212122])1()([])1([0])1([]1[0),(mmmmmmmmmmmmmmmmtkvtatxkiktkvkikattkviikxktkvkeeAeeeeAtxu）（（2-7-3）此解表示仅当时解的振幅才是衰减的，即为（正）耗散解,而当时,振幅随时间呈指数增长，解将是无界的，有时也称为负耗散解。但不论，波速与波数k无关，波速恒为，所以是一种无频散的解。2)，其余的偏导数项系数均为0。方程为：解为：讨论几种特例:1）所有即————行波方程解为:这表示分解的振幅将始终是，所以解是无耗散的；同时不论k是多少，波速衡为所以波形不发生任何变化，所以也是无频（色）散的解。,0nvoxuatu)(0),(atxikkkeAtxuokA,a02v222xuvxuatu)(022),(atxikktkvkeeAtxuov2ov20,022vorva解是无耗散的，但不同的分立波（波数不同），传播速度不一样，其传播速度为即时k越大，则波速越大，换言之，波数较大的子波会逐步赶上波数较小的子波，在满足一定的条件下，将形成孤立波。3)，其余的偏导数项系数均为0。方程为：03v333xuvxuatuDK])([023),(tkvaxikkkeAtxu;23kvaov3方程（弧立波方程）解为：类似地讨论4).时:ov4)(044),(atxikktkvkeeAtxu正耗散负耗散（无界解）ovov44结论:（1）偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被4的整除的偶阶项，当其系数为负时，是正耗散，为正时是负耗散（解趋于无穷）；而其余的偶阶项（即不能被4整除的偶阶项，例如2阶、6阶、10阶等···）当系数为正时是正耗散，系数为负时是负耗散（解）；（2）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的耗散特性；（3）方程（2－7－1）的解既有耗散，也有频散，其耗散及频散特性与这两个无穷级数的和有密切的关系。11212122)1()1(mmmmmmmmkvkv＋以及当时，解可以写成：2、解的耗散，频散特性的定量讨论方法。例1：0xuatu)(0),(atxikkkeAtxuttt)]([0),(ttaxikkkeAttxutikaatxikkttaxikkeeAeAG000G10GtkaArgGoGArgGt解为：的含义；是相邻时间间隔内解的振幅的改变；的含义是相邻时间间隔内解的相位差的改变。对于的每一个分量（即分立波）；引入放大因子G；G是复数对于复数G，可以考察，以及G的幅角：ArgGt★由于只要求G，所以并不一定需要将的仔细形式写出，而重点放在和这两个瞬时的解表达式上。当时例2：222xuvxuatu)(022),(atxikktkvkeeAtxutikatkvatxiktkvkttaxikttkvkeeeeAeeAtxuttxuG2222220)(02,,tkveG222ov212GtkaArgG2),(txutt解为；放大因子例3；对于差分方程的Lax格式：该差分格式的修正方程为（通式）：0xuatu022111111xuuauuunjnjnjnjnjnnnnxuvxuatu2初值若，解可写成回阅(2-7-3)式，其解为：ikxknknikxkkikxikattkviktkvktkvtatxkiktkvkeAtnttetkfAeeeeAeeAtxummmmmmmmmmmmmmmm)(),(}{),(0])1([])1([0])1()([])1([01121212211212122ikxkkeAxunt00)0,(0,0tntttnn11ikxknkikxnkkneAetkfAttxu110),(),(!注意此时都是复数，其含义不仅仅是振幅了（与的含义不同！！）从的改变包含振幅和相位的改变：因此，若固定空间位置，考虑时间间隔前后的解之比：1,nknkAA0kA,tttnn1nkAikattkvitkveeemmmmmmmm11212122])1([])1([tnknkkikxnkikxnknjnjAAGeAeAuutxuttxuG111,,可以逐一讨论分量关系对于线性问题另一方面(2-7-3)式的解，当空间位置变化时，即：当时，或时相应的解的形式改变是：xxxnjnjuu1xxiknkeA综合以上：对于线性差分格式(2-7-4)式：将此假设代入差分格式(2-7-4)，并考虑对于线性差分格式，可以分别讨论每一个Fourier分量的关系，有：所有项均有并同除以kikxnknjeAu11kxxiknknjeAu)(1kxxiknknjeAu)(102)(211xeAeAateAeAeAxxiknkxxiknkxxiknkxxiknkikxnk,ikxenkA02211xikxikcxikxiknknkeeeeAA0sincos)(xkicxkGLaxk有时习惯将写成，所以放大因子：xkicxkGLaxksincos)(xksincos)(icGLaxk讨论：对于任意，要求则充分和必要的条件是：或就是Lax格式的稳定条件。从另一角度看，即使，保证了解差分数值解的有界,(稳定了！)但数值解与真解的差别，仍存在着耗散和频散这两个方面的误差。可通过下列图示表示：显而易见，Lax差分格式的解与源方程的解的特性存在差异。与相比oxuaxu22222sin)1(1sincosccGoLax)()(cossintgcarctgarctgArgGcLaxoGcxkctkaArgG0,k,1)(LaxkG12c1c1c1c为简单起见，讨论一维问题；——守恒型——非守恒型八、差分格式的守恒性质；如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算，（即相当于在连续问题中对微分方程在空间域中作积分运算）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系，则称该差分格式具有守恒性，或守恒格式。例；对于连续方程；0vt00)(SVGaussVsdvdVtdVvVdVt0SVsdvdVt0xut0xuxut有限体积域内的质量守恒律例1。对守恒方程用FTCS格式；若从N至M累加:02111xuutnjnjnjnjj02111xuutnjnjMNjnjnjMNj0])()([21)(111111MNjnjMNjnjMNjnjMNjnjuuxt0])()()()()()[(21])()[(11111111nNnNMNjnjMNjnjnMnMMNjnjMNjnjuuuuuuxt0]2)()(2)()([1])()[(1111nNnNnMnMMNjnjMNjnjuuuuxt0]2)()(2)()([])()[(1111nNnNnMnMMNjnjMNjnjuuuuxxt可见，该格式在离散的概念下，所描述的守恒关系与微分的源方程描述的守恒律是一致的，所以是守恒格式。例2：Burger方程，其守恒形式是：格式1（由守恒形式出发）：格式2（由非守恒形式出发）：0xuutu0)21(2xutu])()[(22121njnjnjnjuuxtuu)(11njnjnjnjnjuuuxtuu请分别讨论上述两个格式的守恒性质。九、差分格式的保单调性质；保单调格式的性质是指差分格式的计算，能保持原有函数的单调性。保单调格式对于防止数值解在连续区出现伪振荡是非常重要的；保单调性质是指；若所给初值函数值是的单调函数（也可以是分段单调函数），那么由保单调格式计算得到的也一定是的单调函数且与具有相同的单调性。差分格式的保单调性质将在构造TVD格式时进一步阐述。*单调格式：对于守恒格式。如果恒有(其中为自变量的元函数)，则称为单调格式。njuj1njujnjunjnjnjnjUUUHU,,110iUnkjnkjUUHkjikj,,是以12k●单调格式具有保单调性质证明：设是单调的（不失一般性，设为单调增加），即考虑考虑到单调格式的定义及函数单调性的假设，上式大于等于零，故证毕。*一般的单调格式只有一阶精度，要构造高阶精度的单调必须进行特殊处理（将在TVD格式中另论）。njUnkjnjnjnjnkjnkjUUUUUU11101nkjnkjnkjUUU0)()()(1111111nkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnkjnjnjU