2017年高考第二轮复习：(理数)专题十七-随机变量及其分布列

12017年高考第二轮复习（理数）专题十七随机变量及其分布列1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.451．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X.求X的分布列和数学期望．22．解：(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A1与A2相互独立，A1A－2与A－1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1A－2＋A－1A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝410＝25，P(A2)＝510＝12，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝25×12＝15，P(B2)＝P(A1A－2＋A－1A2)＝P(A1A－2)＋P(A－1A2)＝P(A1)P(A－2)＋P(A－1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝25×1－12＋1－25×12＝12.故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X～B3，15.于是P(X＝0)＝C03150453＝64125，P(X＝1)＝C13151452＝48125，P(X＝2)＝C23152451＝12125，P(X＝3)＝C33153450＝1125.3故X的分布列为X0123P6412548125121251125X的数学期望为E(X)＝3×15＝35.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．3．解：记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(A3)＝12，P(A1)＝13，P(A0)＝1－12－13＝16；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0，1，3)，则P(B3)＝15，P(B1)＝35，P(B0)＝1－15－35＝15.(1)记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)·P(B1)＋P(A0)P(B3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙4上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝16×15＝130，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝13×15＋16×35＝16，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝13×35＝15，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝12×15＋15×16＝215，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝12×35＋13×15＝1130，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为ξ012346P13016152151130110所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.4．(2013·课标Ⅰ，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．4．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意5有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为X400500800P111611614E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)甲的康复时间不少于14天→甲是A组的第5人或第6人或第7人→每人康复时间互斥→互斥事件概率加法公式6(2)甲康复时间比乙长→相互独立事件同时发生→列举每种情况→互斥事件加法求解【解析】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bj为“乙是B组的第j个人”，i，j＝1，2，…，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bj)＝17，i，j＝1，2，…，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因为P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049.(3)a＝11或a＝18.(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．解：设Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2B－C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ci2×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2B－C)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2B－C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B－)P(C)7＝0.31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，则有P(X＝0)＝P(B－A0C－)＝P(B－)P(A0)P(C－)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(BA0C－＋B－A0C＋B－A1C－)＝P(B)P(A0)P(C－)＋P(B－)P(A0)P(C)＋P(B－)P(A1)P(C－)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2BC)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，X的分布列为X01234P0.060.250.380.250.06数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A和事件B相互独立时，才有P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)A，B中至少有一个发生：A∪B.①若A，B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立．②若A，B相互独立(不互斥)，则概率的求法：8方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(AB－)＋P(A－B)；方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(A－)P(B－)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分．2(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B，事