随机事件及其运算

第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第1页第一章随机事件与概率一、教材说明本章内容包括：样本空间、随机事件及其运算，概率的定义及其确定方法（频率方法、古典方法、几何方法及主观方法），概率的性质、条件概率的定义及三大公式，以及随机事件独立性的概念及相关概率计算。随机事件、概率的定义和性质是基础，概率的计算是基本内容，条件概率及事件独立性是深化。1．教学目的与教学要求本章的教学目的是：（1）使学生了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，熟练掌握事件之间的关系和运算；（2）使学生掌握条件概率的三大公式并用这些公式进行相关概率计算；（3）使学生理解条件概率及独立性的概念并进行相关概率计算。本章的教学要求是：（１）理解样本空间、随机事件、古典概率、几何概率、频率概率、主观概率、条件概率及事件独立性的概念；（２）熟练掌握事件之间的关系和运算，利用概率的性质及条件概率三大公式等求一般概率、条件概率以及独立情形下概率的问题；（３）掌握有关概率、条件概率及独立情形下的概率不等式的证明及相关结论的推导。２．本章的重点与难点本章的重点、难点是概率、条件概率的概念及加法公式、乘法公式，全概率公式、贝叶斯公式及事件独立性的概念。二、教学内容本章共分随机事件及其运算、概率的定义及其确定方法、概率的性质、条件概率、独立性等5节来讲述本章的基本内容。1.1随机事件及其运算本节包括随机现象、样本空间、随机事件、随机变量、事件间的关系、事件运算、事件域等内容，简要介绍上述内容的概念及事件间的基本运算。自然界里有两类不同性质的现象。有一类现象，在一定条件下必然发生：如第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第2页自由落体，1000C时水沸腾等这类现象称为确定性事件或必然现象。另一类现象，在一定条件下，可能发生也不可能不发生，其结果具有偶然性，这类具有偶然性的现象称为随机现象。概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。概率统计的理论和方法应用十分广泛，目前已经涉及几乎所有的科学技术领域及国民经济的各个部门，在经济管理预测、决策、投资、保险等领域发挥重要的作用。特别是统计专业的这门课是本专业的一门基础课。1.1.1随机现象１．定义在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。例（１）抛一枚硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；（２）掷一颗骰子，出现的点数；（３）一天内进入某超市的顾客数；（４）某种型号电视机的寿命；（５）测量某物理量（长度、直径等）的误差。随机现象到处可见。２．特点：结果不止一个；哪一个结果出现事先不知道。３．随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象。对随机现象的大量的重复观察，它具有以下特征：重复性、明确性、随机性。我们就是通过随机试验来研究随机现象的。1.1.2样本空间１．样本空间是随机现象的一切可能结果组成的集合，记为}{其中，表示基本结果，称为样本点。（１）执一枚硬币的样本空间为：},{211；两枚呢？两枚均匀的硬币的样本的样本空间Ω由以下四个基本结果组成，1=（正，正），2=（正，反），3=（反，正），4=（反，反），则A=“至少出现一个正面”={123,,}；B=“最多出现一个正面”={234,,}；C=“恰好出现一个正面”={23,}；D=“出现两面相同”={14,}。（２）执一颗质体均匀的骰子的样本空间为：第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第3页}6,5,4,3,2,1{},,,,,{6543212；两颗呢？这时基本结果可以用一个数对（x,y）表示，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子的点数，则其基本空间是Ω1={(x,y):x,y=1,2,3,4,5,6},共有36个结果。则事件A1=“点数之和等于2”={（1，1）}，B1=“点数之和等于5”={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}C1=“点数之和超过9”={（4,6），（5,5），（5,6），(6,4),（6,5），（6,6）}D1=“点数之和不小于4也不超过6”={（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（5，1）}。（３）一天内进入某超市的顾客数的样本空间为：},10,,500,,5,4,3,2,1,0{},,,,{532103；为什么这样处理？（４）某种型号电视机的寿命样本空间为：}0,{4tt；（５）测量误差的样本空间为：},{5xx。２．离散样本空间和连续样本空间。样本空间分类：有限和无限；无限又可以分为可列与不可列有限与可列分为一类，称为离散样本空间；无限不可列属于另一类——连续样本空间。1.1.3随机事件1．定义随机现象的某些样本点组成的集合。随机现象的某些基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C…来表示事件。A=“出现奇数点”，A={1,3,5}等。事件具有以下特征：（1）任一事件A是相应样本空间Ω的一个子集。（2）事件A发生当且仅当A中某一结果发生，或者说，当ω1（∈A）发生，则说世事件A发生，当ω2（A）发生，则说A不发生。（3）事件A的表示可用集合，也可以用语言，但要使大家明白。2．维恩图事件的集合表示。基本事件复合事件第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第4页必然事件不可能事件3．例掷一颗骰子的样本空间为：{1,2,3,4,5,6}。事件A=“出现1点”，它由的单个样本点“1”组成。事件B=“出现偶数点”，它由三个样本点“2，4，6”组成。事件C=“出现的点数大于6”，中的任意样本点都不在C中，所以C是空集，即不可能事件。事件D=“出现的点数不超过7”，中的任意样本点都在D中，所以D是必然事件。样本空间与集合的关系，对应关系1.1.4随机变量1．定义用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母,,,XYZ等表示，也有的用希腊字母,,,等表示。很多随机事件都可以用随机变量来表达。2．例（1）掷一颗骰子，出现的点数是一个随机变量；（2）掷两颗骰子，出现的点数之和也是是一个随机变量；（3）检查10件产品，其中不合格产品数X是一个随机变量，表示（4）电视机的寿命T是一个随机变量。此外射击次数、候车时间、购买某种股票的收益率等都是随即变量。取值情况：有限、无限可列——离散型随机变量；剩下的——非离散型随机变量（主要研究连续型随机变量）有了随机变量，我们就可以用随机变量来表达随机事件，才可以用数学方法（分析方法）来研究随机性问题。随机事件的三种表达形式：集合，语言描述，随机变量。1.1.5事件之间的关系为以后的概率计算化繁为简，需要研究事件间的关系与事件的运算规则，这里先研究事件的关系，它与集合的运算有着相同之处。事件之间的关系有：一、包含关系第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第5页（1）事件的包含设在同一个试验里有两个事件A，B，若事件A中任一基本结果必在B中，则称A包含于事件B或B包含A，记为AB,BA。此时若A发生则必导致B发生。如A=“出现4点”，B=“出现偶数点”显然对于任意一个事件A有ΩA二、相等关系事件的相等设在同一个试验里有两个事件A与B，，若AB且BA，则称事件A与B是相等的,记为A=B。这时A与B必然包含相同的基本事件。A=BAB而且BA.如掷两颗色子，观察它们出现的点数（x,y），设A=“x+y=奇数”，B=“x与y的奇偶性不同”，则A=B.三、互不相容关系(3)事件的互不相容（互斥）设在同一个试验里，若两个事件A与B没有相同的基本结果，则称事件A与B互不相容，这时事件A与B不可能同时发生。如A=“出现点数为偶数”，B=“出现3点或5点”，则A与B互不相容。同样可以推广到多个事件的互不相容性，若在一个试验里有几个事件A1,A2,…,An，若其中任意两个事件都是互不相容的，则称这n个事件是互不相容的。各种关系的维恩图表示。第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第6页1.1.6事件运算1．事件运算：一、事件A与B的并（和），记为：AB“由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”“事件A与B中至少有一个发生”“A或B”举例且：ABA，ABB；当AB时，?ABAA,A；12nAAA表示12,,,nAAA中至少有一个发生。1niiA称为有限并，1iiA称为可列并二、事件A与B的交，记为：AB或AB“由事件A与B中公共样本点组成的新事件”“事件A与B中同时发生”“A且B”举例且：ABA，ABB；当AB时，?ABA,AA；12nAAA表示12,,,nAAA全部发生。若A与B互不相容（互斥），则AB；反之，亦然。第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第7页1niiA称为有限交，1iiA称为可列交。三、事件A与B的差，记为：AB“由事件A中但不在B中的样本点组成的新事件”“事件A发生而B中不发生”“A非B”举例：如A={1，3，5}，B={1，2，3}，则A－B=｛５｝，而B－A＝｛２｝。一般情况下ABAAB这是在以后计算概率时常遇到的公式之一。将AB表示为互不相容事件的和：()()ABAABBABAB等。若X为随机变量，则有：{}{}{}XaXaXa{}{}{}aXbXbXa四、对立事件设A为试验里的事件，则由不在A中的一切结果组成的事件称为A的对立事件，记为A,A就是“A不发生”。如A=“出现偶数点”，则A=“出现奇数点”。对立事件是相互的，A=A,=Ω，=Φ。举例：对立与互不相容的区别与联系，比较举例：设A，B，C是某个试验中的三个事件，则（1）事件“A与B发生，C不发生”可以表示为ABC。（2）事件“A，B，C中至少有一个发生”可以表示为ABC(3)事件“A，B，C中至少有两个发生”可以表示为ABBCAC（4）事件“A，B，C中恰好有两个发生”可以表示为ABCABCABC.(5)事件“A，B，C中有不多于一个事件发生”可以表示为第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第8页ABCABCABCABC（6）事件“A，B，C中至少有一个发生的对立事件”是ABCABC。2．事件的运算性质：（1）交换律：ABBA，ABBA；（2）结合律：()()ABCABC，()()ABCABC；（3）分配律：()()()ABCACBC，()()()ABCACBC；（4）对偶律（德莫根公式）：,ABABABAB。证明：1212nnAAAAAA或者11nniiiiAA、11iiiiAA1212nnAAAAAA或者11nniiiiAA、11iiiiAA完备事件组（或者称为样本空间的一个分割）把样本空间分成n个事件1B，2B，…，nB，假如（1）P(iB)0,i=1,2,…,n;(2)1B，2B，…，nB互不相容，；（3）1niiB。则称事件组1B，2B，…，nB为上的一个完备事件组。（最简单的分割是B和B）比较：记号概率论集合论Ω样本空间,必然事件空间φ不可能事件空集样本点元素ABA发生必然导致B发生A是B的子集AB=φA与B互不相容A与B无相同元素第一章随机事件与概率§1.1随机事件及其运算第9页ABA与B至少有一发生A与B的并集ABA与B同时发生A与B的交集ABA发生且B不发生A与B的差集A不发生对立事件A的余集七、事件域给出事件域的概念，目的是为下一节定义事件的概率作准备。“事件域”——样本空间中某些子集组成的集合类，记为：F可测集合才能定义概率，为此有以下的准备F应该包括：,,,AA以及相关事件的各种运算（并，交，差、对立），在运算之下应该具有封闭性交的运算可以通过并与对立来实现（狄摩根对偶律）差的运算可以通过对立事件与交来实现（ABAABAB）所以，对立事件与并的运算就可以解决任何