随机分析中文(最终稿)

第一章可测空间主要内容:集类,σ-域,可测空间,可测映照,随机变量1.1集类与-域基本概念1.1.1•Ω：抽象空间，给定的非空集合.Ω中的元素称为点，记为ω.•对于Ω的子集A，若ω在A中，则称ω属于A，记作:ω∈A，否则称ω不属于A，记作:ω̸∈A.•A⊆B表示所有属于A的元素都属于B，即A是B的子集.•如下定义集合以及集合的运算:交：A∩B={ω:ω∈A并且ω∈B}并：A∪B={ω:ω∈A或者ω∈B}补：Ac={ω:ω∈Ω但是ω̸∈A}差：A\B={ω:ω∈A但是ω̸∈B}对称差：A△B={ω:ω∈A\B或者ω∈B\A}=(A\B)∪(B\A)=(A∪B)\(A∩B)•设{A,α∈I}为一集类,其中I为指标集,定义:∪∈IA={ω:∃α∈I,ω∈A}∩∈IA={ω:∀α∈I,ω∈A}注:若I={α}是空集,则:∪∈IA=Ø,∩∈IA=Ω集合运算的性质1.1.2•交换律:A∩B=B∩A,A∪B=B∪A•结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)•分配律:(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C),(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)•DeMorgan法则:(A∩B)c=Ac∪Bc,(A∪B)c=Ac∩Bc,(Ac)c=A集合列的极限1.1.3•给定集合序列:{An,n≥1},(1)称∞∪k=1∞∩n=kAn为{An,n≥1}的下极限,记作limn→∞An,limn→∞An=liminfnAn=∞∪k=1∞∩n=kAn,由Ω中不属于有限多个An的元素构成（即由属于某个n0之后的所有An的元素构成）;(2)称∞∩k=1∞∪n=kAn为{An,n≥1}的上极限,记作limn→∞An,limn→∞An=limsupnAn=∞∩k=1∞∪n=kAn,由Ω中属于无限多个An的元素构成;(3)当limn→∞An=limn→∞An时,称An有极限,记作limn→∞An.定义1.1.4A⊂Ω,函数IA(ω)=1ω∈A0ω∈Ac称为A的示性函数.•性质:1I∩A=∧IA(=infIA);I∪A=∨IA(=supIA);I(ΣA)=∑IA;IAc=1−IA;IA−B=IA−IB;IA△B=|IA−IB|;Ilimn→∞An=limn→∞IAn;Ilimn→∞An=limn→∞IAn.证明:下面仅证其中一式为例，Ilimn→∞An=I∞∩k=1∞∪n=kAn=infk≥1I∞∪n=kAn=infk≥1supn≥kIAn=limn→∞IAn.命题1.1.5(首次进入分解)给定集合{Ai,1≤i≤n},则n∪i=1Ai=n∑i=1(Ai\∪j≤i−1Aj).(1.1)证明：对n=1，(1.1)式成立是显然的.若取A=k∪i=1Ai,B=Ak+1,则由A∪B=A+(B\A)便由n=k推出n=k+1时(1.1)也成立.解释:若ω∈A1∪A2∪···∪An,则必有一个最小的i,使得ω属于Ai而不属于A1,A2，···，Ai−1中的任何一个,(1.1)式右端是对n∪i=1Ai中元素按每个元素首先属于哪个集合Ai进行分解.定义1.1.6由Ω的子集所构成的集合称作集类,特别的P(Ω)表示由Ω的子集的全体所构成的集类.定义1.1.7P(Ω)的非空子集类A称为域,如果满足:(1)若A∈A,则Ac∈A;(2)若A,B∈A,则A∪B∈A.•练习:若A是域,则有:(1)Ω∈A,Ø∈A;(2)若A,B∈A,则A∩B∈A,A\B∈A,A△B∈A;(3)若Aj∈A,1≤j≤n,则n∪j=1Aj∈A,n∩j=1Aj∈A•易知:域为包含Ω,Ø并且对有限交,并,补运算封闭的集类.定义1.1.8P(Ω)的非空子集类R称为环,假如满足:若A∈R,B∈R,则A\B∈R,A∪B∈R.环是对于差和并运算封闭的,因此它对对称差运算也封闭.•说明:2(1)A为域,则A必是含Ω的环；(2)若R为环,则Ø∈R;(3)若环含Ω,则必为域.定义1.1.9•任给集类C,包含C的最小域A称为由C生成的域,记做A(C).•P(Ω)的非空子集类F称为σ―域,如果:(1)若A∈F,则Ac∈F;(2)若An∈F,n≥1,则∞∪n=1An∈F.•若F为σ―域,则F必为域,且当n≥1时,An∈F则有:∞∪n=1An∈F,limn→∞An∈F,limn→∞An∈F,∞∩n=1An∈F.(读者自证)•P(Ω)的非空集类C称为σ-环,如果:(1)若A,B∈C,则A\B∈C;(2)n≥1时,若An∈C,则∞∪n=1An∈C注:F为σ-域⇔F是含Ω的σ-环.•包含C的最小σ-域称为由C生成的σ-域,记为σ(C).•直线R上由开集的全体产生的σ-域称为Borel域,记作B(R),B(R)中的集称为一维Borel集.一般的,若E为拓扑空间,B(E)表示E中的开集的全体生成的σ-域,其中的集合称为E中的Borel集,相应的结论在n维欧氏空间也成立.1.2可测空间与乘积可测空间1.2.1可测空间定义1.2.1Ω为集合,F为由Ω的子集构成的σ-域，则(Ω,F)称为可测空间,F中任一集合称为F可测集.在现代概率论中，若(Ω,F)为可测空间,则它有如下含义:Ω表示某一试验可能出现的结果的全体(又称为基本样本空间),Ω的元素ω为基本事件,F为随机事件的全体,称为事件σ-域.F中的集合A称作随机事件或者事件.Ω表示必然事件,Ø表示不可能事件,Ac表示A的逆事件(A不发生事件).注:对集合的运算也同样适用于事件,例如事件limnAn称为{An}的上限事件,表示{An}有无限个同时发生的事件,所以也记作{Ani.o.}=limnAn.1.2.2乘积可测空间定义1.2.2若(Ωi,Fi),1≤i≤n,为n个可测空间,Ω={(ω1,···ωn)：ωi∈Ωi,1≤i≤n}为乘积空间.记Ω=n∏i=1Ωi,若Ai⊂Ωi,1≤i≤n,则:A={(ω1,···ωn)：ωi∈Ai,1≤i≤n}称3为矩形集,记A=n∏i=1Ai=A1×···×An，若Ai∈Fi,称A=n∏i=1Ai为可测矩形.定义1.2.3若(Ωi,Fi),1≤i≤n,为n个可测空间,C表示Ω=n∏i=1Ωn中可测矩形的全体,则F=σ(C)称为乘积σ-域,记作F=n∏i=1Fi,(Ω,F)=n∏i=1(Ωi,Fi)称为乘积可测空间.命题1.2.4若(Ωi,Fi),1≤i≤n,为n个可测空间,1≤m≤n,则:n∏i=1Ωi=m∏i=1Ωi×n∏i=m+1Ωi,n∏i=1Fi=m∏i=1Fi×n∏i=m+1Fi,n∏i=1(Ωi,Fi)=m∏i=1(Ωi,Fi)×n∏i=m+1(Ωi,Fi).定义1.2.5若(Ω,F),α∈J,为一族可测空间,则Ω={(ω,α∈J),ω∈Ω,α∈J}为(Ω,α∈J)的乘积空间,记为Ω=∏∈JΩ.若I为J的有限子集,对A∈F,α∈J,B={(ω,α∈J),ω∈A,α∈I,ω∈Ω,α∈J}称为有限维基底可测矩形,简称有限维矩形柱,∏∈IA称为B的底.定义1.2.6Ω为乘积空间,I为J的任意子集,A∈ΩI=∏∈IΩ,则B={(ω,α∈J):(ω,α∈I)∈A}称为Ω中的柱集,A称为B的底,当A∈∏∈IF时,则B称为以A为基底的可测柱集.特别的,当I为有限指标集时,B称为有限维基底可测柱集;当I为可列指标集时,B称为可列维基底可测柱集,且分别简称为有限维柱集或可列维柱集.注:Rn表示n维欧氏空间,即数直线R的n重乘积空间,Bn表示Rn中的Borel集全体,则:(Rn,Bn)=(R,B)×······×(R,B),Bn可看做由可测矩形或有理端点开矩形全体生成的σ-域.1.3可测映照与随机变量1.3.1可测映照定义1.3.1f为Ω1→Ω2的映照,即对每个ω1∈Ω1,存在确定的ω2∈Ω2使ω2=f(ω1).对A2⊂Ω2,f−1(A2)={ω1∈Ω1:f(ω1)∈A2}称为A2的原象.对P(Ω2)的子类A2:f−1(A2)={f−1(A2):A2∈A2}称为A2的原象.命题1.3.2f为Ω1→Ω2的映照(不必可测),则有:(1)f−1(ϕ)=ϕ(2)f−1(Ω2)=Ω1(3)(f−1(A))c=f−1(Ac)(4)f−1(∪A)=∪f−1(A)(5)f−1(∩A)=∩f−1(A)(6)f−1(∑A)=∑f−1(A)4证明:命题中各式都可以直接验证，我们现仅证(5).因为对每个α0,∩A⊂A0,故f−1(∩A)⊂f−1(A0).进而有f−1(∩A)⊂∩f−1(A).(3.1)反之，若ω0∈∩f−1(A),则对每个α0,ω0∈f−1(A0),即f(ω0)∈A0,故f(ω0)∈∩A,进而有ω0∈f−1(∩A),即∩f−1A⊂f−1(∩A).(3.2)比较(3.1)式及(3.2)式即得(5)式.注:由命题(1.3.2)可见:(1)f−1与集合的并、交、补、差、对称差等运算是可交换的,而且不限于可列运算.由此易知:Ω2上任一σ-域C的原象对余和可列并运算封闭,因而f−1(C)也是Ω1中的σ-域.(2)若A1⊂Ω1,规定f(A1)={f(ω):ω∈A1},则f(∪A)=∪f(A)总是成立的,即f与并运算是可交换的,但取余集及交的运算与f未必是可交换的.引理1.3.3设f为Ω1→Ω2的映照,C为P(Ω2)的子类,则:σΩ1(f−1(C))=f−1(σΩ2(C))证明:由于C⊂σΩ2(C),故:f−1(C)⊂f−1(σΩ2(C)),又由命题1.3.2的注(1)可知:f−1(σΩ2(C))也是σ-域.故σΩ1(f−1(C))⊂f−1(σΩ2(C)).同时,令H={B:f−1(B)∈σΩ1(f−1(C))},则H⊃C,容易验证:H也是σ-域,故σΩ2(C)⊂H,即:f−1(σΩ2(C))⊂σΩ1(f−1(C)),故命题得证.定义1.3.4设(Ω1,F1),(Ω2,F2)为可测空间,f:Ω1→Ω2,若对于每个A∈F2,f−1(A)∈F1,或等价的:f−1(F2)⊂F1,则称f为(Ω1,F1)到(Ω2,F2)的可测映照,记为:f∈F1/F2,并记σ(f)=f−1(F2),称它为由f生成的σ-域.命题1.3.5若(Ω1,F1),(Ω2,F2)为可测空间,C⊂P(Ω2),又F2=σ(C),则:f∈F1/F2⇐⇒f−1(C)⊂F1证明:⇒:C⊂σ(C)=F2,故f−1(C)⊂f−1(σ(C))=f−1(F2)⊂F1⇐:由引理1.3.3,f−1(F2)=f−1(σ(C))=σ(f−1(C))⊂F1,故f∈F1/F2.命题1.3.6设(Ωi,Fi),i=1,2,3,为可测空间.若g:(Ω1,F1)→(Ω2,F2);f:(Ω2,F2)→(Ω3,F3)为可测映照,则f◦g:f◦g(ω1)=f(g(ω1))是(Ω1,F1)到(Ω3,F3)的可测映照.(证明留做习题)1.3.2随机变量定义1.3.7由(Ω,F)到(R,B(R))(或(R,B(R)))的可测映照,称为可测函数.特别的,当(Ω,F)为概率可测空间时,(Ω,F)到(R,B(R))(或(R,B(R)))的可测映照X称为有限值随机变量(或5广义实值随机变量),记做:r.v.(randomvariable).命题1.3.8若E={rn}为R中的稠密集,则X是(Ω,F)上的r.v.⇐⇒对于每个rn∈E,{ω:X(ω)≤rn}∈F.证明:⇒:{ω:X(ω)≤rn}=X−1((−∞,rn])∈F.⇐:取C={(−∞,rn]),rn∈E},则:X−1(C)⊂F,而σ(C)=B(R),由命题1.3.5知:X∈F/B(R),即X是(Ω,F)上的r.v..命题1.3.9若{Xn}n≥1为r.v.序列,则supn≥1Xn,infn≥1Xn,limnXn,limnXn都是r.v.证明:{supn≥1Xn≤c}=∞∩n≥1{Xn≤c}∈F,{infn≥1Xnc}=∞∪n≥1{Xnc}∈F,{infn≥1Xn≤c}=∞∩k=1{infn≥1Xnc+