新人教版九年级数学(上)――正多边形与圆、弧长、扇形的面积计算

板块一、课前回顾回顾1.圆和圆的位置关系有哪几种？分别于圆心距有何关系？回顾2.公共弦与连心线有何关系？回顾3.三角形的内切圆半径与圆的周长、面积之间的关系是怎样？特别地，直角三角形内切圆的半径与周长有何关系？回顾4.热点应用1、已知圆O和圆P相交于C,D两点，OP所在的直线交两圆于A,B两点，∠OCP=100°,求∠ADB的度数。2、如图⊙O与⊙O1交于A、B两点，O1点在⊙O上，AC是⊙O直径，AD是⊙O1直径，连结CD，求证：AC=CD.正多边形与圆、弧长、扇形的面积计算板块二、新课讲解知识点一、正多边形与圆1、多边形内角和：（n-2）•180º2、正多边形：各条边都相等，并且各个内角也相等的多边形叫做正多边形．3、圆内接正多边形：正多边形的每一个顶点都在圆上，这个正多边形叫做圆的内接正多边形。4、圆外切正多边形：正多边形的每一条边都与圆相切，这个正多边形叫做圆的外切正多边形。5、为了方便我们学习研究，我们引出正多边形的一些概念：正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．如图中⊙O；正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．如下图中线段OC；正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．如图中∠COD；正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图中线段OF。根据勾股定理可知，在正多边形中，半径、边长、边心距三者之间存在下列关系式：222OFCFOC即：2222边长边心距半径MEDCBA(4)(3)(2)(1)ONMEDCBNMAONMODCABNMOCBAFEDCBA例题精讲例1、求正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比。例2、如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点M。（1）请你观察图形，并直接写出图中所有的等腰三角形；（2）求证：BM2=BE·ME.例3、如图1、2、3、4，M、N分别为⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE，……正n边形ABCDE……的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON。（1）求图1中∠MON的度数；（2）求图2中∠MON的度数为_________；（3）请探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写答案）。即时巩固1、下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）。①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形。2、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60°B．45°C．30°D．22．5°3、圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°4、同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是()A.1:3B.1:2C.1:2D.2:15、正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是()A.63B.43C.33D.236、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是()A.S3S4S6B.S6S4S3C.S6S3S4D.S4S6S37、用圆规和直尺在下列圆中画正三角形、正八边形。OO知识点二、弧长与扇形的计算公式1、回顾：圆的周长计算公式：圆的面积计算公式：2、弧长计算公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l=_________。3、扇形面积计算公式：○1在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：S=________。○2扇形面积的另一个计算公式比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以将扇形面积的计算公式：S=360nπR2化为S=_______·21R=_______·21R，从面可得扇形面积的另一计算公式：S扇=_______。例题精讲例1、已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之间有怎样的数量关系？OCAB例2、正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，2a为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求弧O1O2、弧O2O3、弧O3O1围成的图形面积S（图中阴影部分）。例3、如图，半圆的直径AB=40，C，D是这个半圆的三等分点。求弦AC、AD和弧CD围成的阴影部分的面积。例4、如图正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆。求围成图形（阴影部分）的面积。即时巩固1、圆心角为40°、半径为6的弧长为________；面积为________。2、半径为3、弧长为4的扇形面积为________。3、扇形的圆心角为120°，弧长为20，则扇形的面积为_________。4、弧长为2、面积为4的扇形的半径为________，圆心角为_______。5、正三角形的边长为6的内切圆的周长为_______，外接圆面积为________。6、如图，⊙O的半径为2，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AB=23。求图中阴影部分的面积。9、如图，点C、D在线段AB上，⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的直径分别为AB、AC、CD、DB。（1）求⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3的周长C、C1、C2、C3；（2）C与C1、C2、C3有怎样的数量关系。板块三、综合、运用、诊断【A.正多边形与圆】一、选择题1．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的()．A．3倍B．5倍C.4倍D．2倍2．已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y与x的函数关系式是()．A．xy42B．xy82C．xy21D．xy223．有一个长为12cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是()．A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm二、解答题4．已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．(1)求A1A3的长；(2)求四边形A1A2A3O的面积；(3)求此正八边形的面积S．5．已知：如图，⊙O的半径为R，正方形ABCD，A′B′C′D分别是⊙O的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．6．已知：如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．【B.弧长与扇形计算】一、基础知识填空1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l=_______．2．____________和______所围成的图形叫做扇形．在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形=__________；若l为扇形的弧长，则S扇形=__________．3．如图，在半径为R的⊙O中，弦AB与所围成的图形叫做弓形．当为劣弧时，S弓形=S扇形－______；当为优弧时，S弓形=______＋S△OAB．4．半径为5cm的圆中，若扇形面积为2cm3π25，则它的圆心角为______．若扇形面积为15cm2，则它的圆心角为______．5．若半径为6cm的圆中，扇形面积为9cm2，则它的弧长为______．二、选择题6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为()．A．π425B．π825C．π1625D．π32257．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为()．A．2πcm100B．2πcm3400C．2πcm800D．2πcm38008．如图，△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是()．A．9π4B．9π84C．94π8D．98π89．已知：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，a21长为半径作，，，求阴影部分的面积．10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，,34BC以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影部分的面积．11．已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比较与的长．12．已知：如图，扇形OAB和扇形OA′B′的圆心角相同，设AA′＝BB′＝d．＝l1，＝l2．求证：图中阴影部分的面积.)(2121dllS