编号17选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数1

第一课时函数的最大(小)值与导数1.函数单调性与导数符号的关系是：2.判定函数单调性的步骤：①求出函数的定义域；②求出函数的导数f(x)；③判定导数f(x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.导数f(x)0单调增函数导数f(x)0单调减函数复习3.求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f(x)=0.当f(x0)=0时(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.复习找出f(x)的在区间[a,b]内的极值那么f(x)在区间[a,b]内的最值呢?预习导航：找出f(x)在区间[a,b]内的最值找出f(x)在区间[a,b]内的最值把函数y=f(x)的所有极值及端点的函数值进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它就有最大值和最小值结论：.0,344313上的最大值与最小值在求函数xxxf例1.解:知在[0,3]上,当x=2f(x)有极小值为.342f，又40f，13f4431,3xxxf函数因此在[0,3]上的最大值是4,最小值是.34问题探究一：求已知函数的最值求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较．(2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(4)可用函数的单调性求f(x)在区间上的最值，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)，若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．问题3：极值与最值的区别和联系是什么？堂上练习求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：.,,;,,;,,;,,21　3413　126344　27221　2613332xxxxfxxxxfxxxxfxxxxf答案:(1)(2)(3)(4)543543)()(,)()(maxminfxffxf20231)()(,)()(maxminfxffxf171102)()(,)()(maxminfxffxf543543)()(,)()(maxminfxffxf已知函数的最值求参数已知函数f(x)＝lnx＋ax，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．[思路点拨]解答本题的关键是求导数，对a的不同取值，先求出函数在该区间内的最小值，再令最小值等于32，然后确定a的值．问题探究二：解析：函数的定义域为[1，e]，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，e]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝32，∴a＝32∉(－∞，1]，故舍去．②当1ae时，令f′(x)＝0得x＝a，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(a)＝lna＋aa＝32.∴a＝e∈(1，e)，故符合题意．③当a≥e时，f′(x)≤0，函数f(x)在[1，e]上是减函数，f(x)min＝f(e)＝lne＋ae＝32，∴a＝12e∉[e，＋∞)，故舍去，综上所述a＝e.2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．解析：依题意，显然a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)若a＜0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)－0＋f(x)－7a＋b减极小值增－16a＋b所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.