高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义学习目标：1、能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度；2、会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。+我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。平面向量的数量积：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab其中θ是与的夹角，叫做向量在方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，即。ab||cos(||cos)bababa00aθBB1OAab1||||cosOBb2.投影的概念:投影也是一个数量，不是向量..cos方向上的投影在叫做向量abbabOBAB1数量积的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosbθBB1OAab思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负呢？2.投影的概念:ABOabB1当为锐角时投影为正值;2.投影的概念:ABOabB1ABOabB1当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;2.投影的概念:ABOabB1当为直角时投影为0;ABOabB1ABOab(B1)当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;注意：数量积a·b=|a||b|cosbaba，与实数表示数量而不表示向量表示向量；、不同，baba00a注意公式变形，知三求一.“·”不能省略不写，也不能写成“×”一种新的运算由向量数量积的定义，试完成下面问题：_______.___________________.(3)||____||||.()ababababababaaabab；反；若与同向,若与向,填或(1)(2)注：常记为。aa2a||aaa0||||ab||||ab2||a≤22()||aa证明向量垂直的依据（4）平面向量数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。（5）向量数量积的性质。①e·a=a·e=|a|cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=。aa⑤|a·b|≤|a||b|||||cosbaba④例1.已知，的夹角θ=120º，求。||5,||4abab与ab解：||||cos54cos120154()210=abab,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD且方向相反平行与,CDAB2180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB,60ADAB3的夹角是与120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB典型例题分析进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或120例2、BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,,求已知中在平行四边形如图CDAB.2DAAB.3BACD60四.课堂练习判断下列各题是否正确(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0------(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a·b≠0--(3)若a≠0,且a·b=0,则b=0-------------------(4)若a·b=0,则a=0或b=0---------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2----------------(6)若a≠0且a·b=a·c,则b=c------------------（7）a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.(√)(×)(×)(×)(√)(×)(√)1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定；2、两个向量的数量积称为内积，写成a·b;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分；3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但在数量积中，若a≠0，且a·b=0,不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为04、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc得a=c.但是有a·b=b·c不能得a=c数量积a·b=|a||b|cos5、a⊥ba·b=0.6、当a与b同向时,a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=。2a7、|a·b|≤|a||b|||||cosbaba7、|a·b|≤|a||b|;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)数量积的运算规律：;()()();().abbaababababcacbc(1)(2)(3)思考：等式是否成立？()()abcabc数量积的运算规律：不成立例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.2下列2结论：①a2=|a|2②a·b/a2=b/a③(a·b)2=a2·b2④若a≠0,则b=ca·b=a·c,其中正确的序号是__________.3。设|a|=8,e是单位向量，当它们的夹角为600时，a在e方向上的投影是______.1．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面结论正确的是（）A．|e1·e2|=1B．e1·e2=1C．e1·e2=-1D．|e1·e2|〈1A14例5.已知，的夹角60º，求。||6,||4abab与(2)(3),||ababab例6.已知，且与不共线，k为何值时，向量与互相垂直。||3,||4abaakbbakb-72，19243k•例7、已知（a–b）⊥（a+3b），求证：|a+b|=2|b|解：∵（a–b）⊥（a+3b）∴（a–b）·（a+3b）=0即a·a+3a·b–b·a–3b·b=0即a·a+2a·b–3b·b=0∴(a+b)2=4b2即|a+b|2=4|b|2∴|a+b|=2|b|例8、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a–5b垂直，a–4b与7a–2b垂直，求a与b的夹角。•解：∵（a+3b）⊥（7a–5b）（a–4b）⊥（7a–2b）∴（a+3b）·（7a–5b）=0且（a–4b）·（7a–2b）=0即7a·a+16a·b–15b·b=07a·a-30a·b+8b·b=0两式相减得：2a·b=b2，代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=例9、求证：直径所对圆周角为直角•证明：设AC是圆O的一条直径，∠ABC为圆周角，如图CB0Ab•设AO=a，OB=b，•则AB=a+b，OC=a，则BC=OC-OB=a-b•∵|a|=|b|•∴AB·BC=（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴AB⊥BC∴∠ABC=900即直径所对圆周角为直角a小结向量数量积计算时,一要算准向量的模,二要找准两个向量的夹角。作业：P1083、7