2020贵阳市中考数学一轮复习课件第4章-解题方法突破篇——角平分线四大模型

教材同步复习第一部分解题方法突破篇——角平分线四大模型第四章三角形第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)1模型1过角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON平分线上的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B.结论：PB＝PA.【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)2例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到直线AB的距离是______cm.3【解题思路】第一步：过点D作DE⊥AB于点E；第二步：根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质可得DE＝CD；第三步：代入数据求出DE，即可得解．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)3【解答】如答图，过点D作DE⊥AB于点E.∵BC＝9cm，BD＝6cm，∴CD＝3cm.∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝3cm.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)4针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)5解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E.∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5.在Rt△DEB中，由勾股定理，得BE＝BD2－DE2＝2.52－1.52＝2.在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，CD＝ED，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，∴AC＝AE.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)6设AC＝AE＝x，则AB＝x＋2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AB2＝AC2＋CB2，即(x＋2)2＝x2＋(1.5＋2.5)2，解得x＝3，∴AC的长为3.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)7模型2截取构造对称全等如图，P是∠MON平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB.结论：△OPB≌△OPA.【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等．利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)8例2已知在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，AD＝3，AC＝5，则BC＝______.8【解题思路】第一步：点转化，在BC边上截取CE＝AC，此时BC＝EC＋BE＝AC＋DA；第二步：证全等，根据SAS即可判定△ACD≌△ECD，即可证得AD＝ED，∠A＝∠1；第三步：由角的性质可证得BE＝DE，即可求解．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)9【解答】如答图，在BC边上截取CE＝AC，连接DE.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ECD.在△ACD和△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴AD＝ED，∠A＝∠1.∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B.∵∠1＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝DA，∴BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝5＋3＝8.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)10针对训练2．如图，在△ABC中，已知∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．证明：BC＝AD＋AC.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)11证明：如答图，在BC边上截取EC＝AC，连接DE，则BC＝BE＋EC＝BE＋AC.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠DCE＝∠DCA.在△CDE和△CDA中，EC＝AC，∠DCE＝∠DCA，CD＝CD，∴△CDE≌△CDA(SAS)，∴∠CED＝∠A，ED＝AD.∵∠CED＝∠B＋∠BDE，∠A＝2∠B，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED，∴BE＝AD，∴BC＝BE＋AC＝AD＋AC.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)12模型3角平分线＋垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON平分线上的一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B.结论：△AOB是等腰三角形．【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等．这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)13例3如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OP是CD的垂直平分线．【解题思路】证明点O，P在线段CD的垂直平分线上即可．第一步：根据角平分线的性质知PC＝PD，所以点P在CD的垂直平分线上；第二步：证明Rt△POC≌Rt△POD，得OC＝OD，所以点O在CD的垂直平分线上，则OP是CD的垂直平分线，即可证明．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)14【解答】∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，∴PC＝PD，∠PCO＝∠PDO＝90°，∴点P在CD的垂直平分线上．在Rt△POC和Rt△POD中，PC＝PD，OP＝OP，∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，∴OC＝OD，∴点O在CD的垂直平分线上，∴OP是CD的垂直平分线．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)15针对训练3．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)16证明：如答图，延长AD交BC于点F.∵BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，∴△ABF是等腰三角形，∴∠2＝∠AFB.又∵∠AFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)17模型4角平分线＋平行线如图，P是∠MON平分线上的一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q.结论：△POQ是等腰三角形．【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)18例4如图，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，线段EF与BE，CF有什么数量关系？【解题思路】第一步：由平行线的性质和角平分线的定义可得∠EDB＝∠EBD，则ED＝BE；第二步：同理可得DF＝CF，则EF＝BE＋CF，即可得答案．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)19【解答】∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE.同理可得DF＝CF，∴ED＋DF＝BE＋CF，即EF＝BE＋CF.第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)20针对训练4．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，∠OPE＝75°.如果PE＝6cm，求OD的长．第一部分教材同步复习中考新突破·数学(贵阳)21解：如答图，过点P作PF⊥OB于点F.∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE＝6cm.∵PE⊥OA，∠OPE＝75°，∴在Rt△POE中，∠POE＝15°.∵OC平分∠AOB，∴∠AOB＝30°.∵PD∥OA，∴∠PDF＝∠AOB＝30°，∠DPO＝∠EOP＝15°＝∠DOP，∴PD＝2PF＝12(cm)，DO＝DP，∴OD＝12cm.