高考导数专题(含详细解答)

第1页共34页导数及其应用导数的运算1.几种常见的函数导数：①、c（c为常数）；②、n(x)（Rn）；③、)(sinx=；④、)(cosx=；⑤、x(a)；⑥、x(e)；⑦、a(logx)；⑧、(lnx).2.求导数的四则运算法则：()uvuv；vuvuuv)(；2)(vvuvuvu)0(2'''vvuvvuvu注：①vu,必须是可导函数.3.复合函数的求导法则：)()())((xufxfx或xuxuyy一、求曲线的切线（导数几何意义）导数几何意义：0()fx表示函数()yfx在点(0x，0()fx)处切线L的斜率；函数()yfx在点(0x，0()fx)处切线L方程为000()()()yfxfxxx1.曲线在点处的切线方程为（）。A:B:C:D:答案详解B正确率:69%,易错项:C解析:本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为B。2.变式一：第2页共34页3.设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为()A．4B．14C．2D．124.已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是()A.21yxB.yxC.32yxD.23yx变式二：5.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线3:103Cyxx上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.第3页共34页6.设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为.7.已知点P在曲线y=41xe上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是A、[0,4)B、[,)42C、3(,]24D、3[,)4第4页共34页变式三：8.已知直线y=x＋1与曲线yln()xa相切，则α的值为()A.1B.2C.－1D.－2第5页共34页9.若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切，则a等于()A．1或25-64B．1或214C．74或25-64D．74或710.若曲线12yx在点12,aa处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则aA、64B、32C、16D、811.（本小题满分13分）设1()(0)xxfxaebaae.（I）求()fx在[0,)上的最小值；（II）设曲线()yfx在点(2,(2))f的切线方程为32yx；求,ab的值.第6页共34页12.若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.二、求单调性或单调区间1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数)(xfy在某个区间D内可导，如果)(xf＞0，则)(xfy在区间D上为增函数；如果)(xf＜0，则)(xfy在区间D上为减函数；如果)(xf=0恒成立，则)(xfy在区间D上为常数.第7页共34页2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式)(xf＞0的解集与函数)(xfy定义域的交集，就是)(xfy的增区间；不等式)(xf＜0的解集与函数)(xfy定义域的交集，就是)(xfy的减区间.1、函数xexxf)3()(的单调递增区间是()A.)2,(B.(0,3)C.(1,4)D.),2(2.函数32()15336fxxxx的单调减区间为.3.已知函数，，讨论的单调性。答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式。当，即时，对一切都有。此时，在上是增函数；当时，，此时在上也是增函数；第8页共34页当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。4.已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。答案详解（Ⅰ）当时，，，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。（Ⅱ）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：（1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：第9页共34页所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。（2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。解析:本题主要考查利用导数判断函数单调性。（Ⅰ）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出函数的单调区间和极值。三、求函数的极值与最值1、极值的判别方法：当函数)(xf在点0x处连续时，①如果在0x附近的左侧)(xf＞0，右侧)(xf＜0，那么)(0xf是极大值；②如果在0x附近的左侧)(xf＜0，右侧)(xf＞0，那么)(0xf是极小值.也就是说0x是极值点的充分条件为0x点两侧导数异号，而不是)(xf=0.2、最值的求法：求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.1.设函数()xfxxe，则（）A.1x为()fx的极大值点B.1x为()fx的极小值点C.1x为()fx的极大值点D.1x为()fx的极小值点第10页共34页答案详解D正确率:53%,易错项:B解析:本题主要考查函数极值的计算。令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值点。2.函数32()31fxxx在x处取得极小值.3.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）设13()ln1,22fxaxxx其中aR，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直于y轴.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数()fx的极值.4.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式210(6)3ayxx，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（I）求a的值.（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.第11页共34页5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设)(cmxFBAE.（1）某广告商要求包装盒的侧面积S)(2cm最大，试问x应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V)(3cm最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案详解（1），所以时侧面积最大。（2），所以。当时，递增，当时，递减，所以，当时，最大。此时，包装盒的高与底面边长的比值为。解析:本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。第12页共34页（1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。（2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。四、判断函数的零点1.函数f(x)=23xx的零点所在的一个区间是A.（－2，－1）；B.（－1,0）；C.（0,1）；D.（1,2）答案详解B正确率:64%,易错项:C解析:本题主要考查连续函数的性质。由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。A项，故A项错误；B项，，则零点定理知有零点在区间上，故B项正确；C项，故C项错误；D项，故D项错误。综上所述：符合题意的是B项。故本题正确答案为B。2.设函数1()ln(0),3fxxxx则()yfx()A.在区间1(,1),(1,)ee内均有零点；B.在区间1(,1),(1,)ee内均无零点；C.在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e内无零点；D.在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e内有零点.答案详解D正确率:33%,易错项:C解析:本题主要考查导数的应用。定义域为，先对求导，，解得在单调递减，单调递增。讨论上，在其上单调，，，故在上无零点；讨论上，在其上单调，，，故在上有零点。故本题正确答案为D。易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。第13页共34页3.已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝A.－2或2；B.－9或3；C.－1或1；D.－3或1答案详解A正确率:53%,易错项:C解析:本题主要考查导数在函数中应用。对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－2。可知，。故本题正确答案为A。4.16分）若函数)(xfy在0xx处取得极大值或极小值，则称0x为函数)(xfy的极值点.已知ab，是实数，1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数()gx的导函数()()2gxfx，求()gx的极值点；（3）设()(())hxffxc，其中[22]c，，求函数()yhx的零点个数．答案详解（1）由题设知，且，，解得。（2）由（1）知，因为，所以的根为，，于是函数的极值点只可能是或。当时，，当时，，故是的极值点，当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。（3）由（1）知，其函数图象如下图所示，第14页共34页先讨论（）的零点，即与的交点的个数：时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为和；时，由图象得的零点为，，；时，由图象得的零点分别在，，三个区间内；时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。令，现在考虑（）的零点：当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有个零点。当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。第15页共34页综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。解析:本题主要考查导数在研究函数中的应用。（1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。（2）由（1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果。（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。五、导数与图像1．函数1nmfxaxx在区间0,1上的图象如图所示，则,mn的值可能是A．1,1mnB．1,2mnC．2,1mnD．3,1mn2.若函数()yfx的导函数．．．在区间[,]ab上是增函数，则函数()yfx在区间[,]ab上的图象可能是()第16页共34页A．B．C．D．3.【2010江西理数】如图