11.对称网络和奇偶模法

Ⅹ.对称网络和奇偶模法西安电子科技大学，电子工程学院苏涛Ⅹ.对称网络和奇偶模法1.双端口对称网络2.多端口对称网络3.多对称性网络Ⅹ.对称网络和奇偶模法1.双端口对称网络①S矩阵表示②Y矩阵表示③奇偶模与对称矩阵、本征值的关系④奇偶模与坐标旋转⑤实例2.多端口对称网络3.多对称性网络网络结构对称；任意激励对称激励+反对称激励21212121aaaaaaoeoeoeaaaaaa2111112121kkaa对应的响应：21212121bbbbbboe1.1S矩阵表示对称网络，根据几何对称性，可以分为偶模激励和奇模激励的两个单端口网络（为对称网络的一半，对称面分别为开路和短路）研究。对称激励时，由于网络对称，场分布左右对称，可以看着两个“半网络”，每个“半网络”的对称面相当于开路，此时“半网络”与原对称网络对称激励时，场分布相同，称为偶模激励；反对称激励时（大小相等，反向相反），由于网络对称，场分布左右反对称（大小相等，反向相反），可以看着两个“半网络”，每个“半网络”的对称面相当于短路，此时“半网络”与原对称网络对称激励时，场分布相同，称为奇模激励。任意激励可以看着是偶模激励和奇模激励的叠加，则对称网络的网络参数可以有奇偶模反射系数得到。偶模反射系数奇模反射系数211111111111111111211111111121211111210011110011111111aaSSSSSSSSaaSSaaSSbbbboeoeoeoeoeoeoeoe上式使用奇偶模阻抗表示对称网络的S参数。归一化阻抗表达式，212212121121VVYYYYII奇偶模理论——对称和反对称的思想}][]{[21}][]{[21][TTAAAAA对称反对称1.2Y矩阵表示21212121212121VVVVVVVVVV令2121VVVe称为偶模激励2121VVVo称为奇模激励其都建立在“线性叠加原理”基础上。又记做)(21)(21)(21)(2121212121IIIVVVIIIVVVooee进一步得到02212121121221212112101111111121111121111121VVYYYYVVYYYYIIIIee01222112211221112221102221VVYYYYYYYYYYIIee再考虑对称012111211000VVYYYYIIee2211YY012111211000VVYYYYIIee偶模激励和奇模激励时，非对角元素为零，无耦合；oeoeoeVVYYII0000方程改写为其中，oooeeeVYIVYI001211012110YYYYYYoe工程中习惯使用阻抗ooeeYZYZ000011分别称为偶模阻抗和奇模阻抗。210021111100111121VVYYIIoeoeoeoeoeYYYYYYYYY0000000021][显然，奇偶模法实际上是二维对称矩阵对角化，或求本征值和本征矢。VVY称为本征方程。其中，λ为本征值；［V］称为本征值λ对应的本征矢（本征激励）。1.3奇偶模与对称矩阵、本征值的关系对称矩阵的定义：矩阵与其转置矩阵相等，称为对称矩阵。TAA对称矩阵的性质：1.同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。2.设A为n阶方阵，则A+AT,AAT,ATA是对称矩阵。3.设A为n阶对称矩阵，若A可逆，则其逆阵是对称矩阵。4.任意n阶方阵，可表示为一个对称矩阵与一反对称矩阵之和。5.设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则XTAX是对称矩阵。6.设A、B都是n阶对称矩阵，AB也对称，当且仅当A、B可交换对称矩阵的对角化：定理1实对称矩阵的特征值都是实数。定理2设A使实对称矩阵，则Rn中属于不同特征值的特征向量必正交。定理3对任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵P，使PTAP=P-1AP=Λ，成为对角型，且对角线元素是A的特征值。（P是特征向量正交矩阵）1111210011111111oeSSS1PPA奇偶模法就是矩阵的对角化，特征值和特征向量问题。特别注意的是：•“对称”矩阵指转置矩阵等于本身，即互作用相同，相等于网络概念中的互易；•奇偶模法中“对称”指结构对称（物理结构和场结构，对称和互易），互作用和自作用都相等，此时特征向量各元素绝对值相同，相当于偶模和奇模激励；特别注意的是：•奇偶模法在结构对称和激励对称（反对称）的情况下，场分布左右对称（或反对称），可以将问题分解为两个“半”问题，即电壁分开的奇模和磁壁分开的偶模，电壁和磁壁位于对称面；•对称矩阵对角化的本意来说，自作用不同，结构不对称，即对角线元素不同的对称矩阵同样可以有推广的奇偶模，此时激励按比例，绝对值不等；难以定义前面类似的对称面，工程应用受到局限；•对称矩阵对角化的本意来说，多端口矩阵同样存在类似奇偶模的问题；1.4奇偶模与坐标旋转21111121VVVVoe21111121VVVVeo21212145cos45sin45sin45cos212121212121111121VVVVVVVVeo45cos45sin45sin45cos21坐标旋转变换矩阵V1V2VeVo)(21)(212121VVVVVVeo1.5实例例1：耦合传输线特征阻抗问题212212121121VVYYYYII偶模激励是磁壁——偶对称ffpeCCCC偶模和奇模对应两种外部激励，有明确的物理意义。奇模激励是电壁——奇对称gfpeCCCC210021111100111121VVYYIIoeoeoeoeoeYYYYYYYYY0000000021][例2：中心枝节加载谐振器中心枝节加载谐振器（CLRs：CentrallyLoadedResonators)，也称为对称枝节加载谐振器，是双通带微带滤波器的一种常用结构。由于其对称性，在分析时常用的是奇偶模方法。奇模等效偶模等效对称面Ⅹ.对称网络和奇偶模法1.双端口对称网络2.多端口对称网络①S参数表示②耦合传输线定向耦合器③A参数表示3.多对称性网络2.1S参数表示四端口网络，关于PP‘面对称1423123422441133434324422332411413311221,,,,,,,SSSSSSSSSSSSSSSSSSSS在对称四端口网络中，S参数的元素并不是都独立的，基于对称性和互易性22214241211141314241222141312111SSSSSSSSSSSSSSSSSABBASSSSS利用对称性，分解为偶模和奇模偶模eeeeABBAeeeeaaaaSSSSbbbb21212121eeBAeeaaSSbb2121BAeSSSooooABBAooooaaaaSSSSbbbb21212121ooBAooaaSSbb2121BAoSSS得到，22oeBoeASSSSSSoooooeeeeeSSSSSSSSSS2221211122212111,2244214324422121412134113341321111312222244123222222212121411431132112111111,,,2,,2,2,2,2,,,2SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSoeoeoeoeoeoe2.2耦合传输线定向耦合器02211SS耦合传输线，关于PP’对称，如果设则四个端口都匹配，即定向耦合器。22222222111111oeoeSSSSSS偶模，对称面开路，PHC奇模，对称面短路，PEC特别注意，奇偶模特性阻抗和波数不一定相等。Case1.022221111oeoeSSSS042132431SSSS参见前面的关系，得到即，同侧的端口隔离，称为前向（同向）定向耦合器。Case2.oeoeSSSS22221111,此时，1和2端口有耦合；当oeSS2121有041S称为反向定向耦合器。2.3A参数表示多端口网络中，奇偶模法可以用A参数进行分析。思考：双端口网络为什么没有用A参数进行奇偶模分析。同样地，以耦合传输线为例IIIIIIIUAIUNIUUUU21NIIIII21NNNIIUUUU221NNNIIIII22143432121IIUUAIIUUIoIoIeIeEIoIoIeIeIUIUAIUIUIIUU10101010010101012121)(21)(21)(21)(2121212121IIIVVVIIIVVVooee据奇偶模定义：同理，可得输出端的变换关系。IIeIIeeeeeeeIeIeIUZjjZIUcossin1sincos00IIoIIoooooooIoIoIUZjjZIUcossin1sincos001EFAAooooooeeeeeeeoZjjZZjjZAcossin100sincos0000cossin100sincos0000IIoIIoIIeIIeeoIoIoIeIeIUIUAIUIU奇模：对称面电壁；偶模：对称面磁壁；•单线传输FeoEAAAA微带具有不均匀介质特点，此时奇偶模的分解不仅是形式上的，而且是实质上的；换句话说，在耦合微带中确实存在两种传播速度不同的波——奇模和偶模。在实际器件中，如何使奇偶模电长度相等是一个十分重要的问题，当，矩阵退化为（与耦合带线相同）。0e结论：奇偶模方法利用网络的几何对称性，可以简化计算。Ⅹ.对称网络和奇偶模法