算法大全第22章 模糊数学模型

-257-第二十二章模糊数学模型§1模糊数学的基本概念1.1模糊数学简介1965年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并在国际期刊《InformationandControl》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文“FuzzySets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。1.2基本概念1.2.1模糊集和隶属函数定义1论域X到]1,0[闭区间上的任意映射Aμ：]1,0[→X-258-)(xxAμ→都确定X上的一个模糊集合A，Aμ叫做A的隶属函数，)(xAμ叫做x对模糊集A的隶属度，记为：}|))(,{(XxxxAA∈=μ使5.0)(=xAμ的点0x称为模糊集A的过渡点，此点昀具模糊性。显然，模糊集合A完全由隶属函数Aμ来刻画，当}1,0{)(=xAμ时，A退化为一个普通集。1.2.2模糊集合的表示方法当论域X为有限集时，记},,,{21nxxxXL=，则X上的模糊集A有下列三种常见的表示形式。i)zadeh表示法当论域X为有限集时，记},,,{21nxxxXL=，则X上的模糊集A可以写成nnAAAniiAxxxxxxxiA)()()()(22111μμμμ+++==∑=L注：“∑”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“iiAxx)(μ”不是分数，它表示点ix对模糊集A的隶属度是)(iAxμ。ii)序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nAnAAxxxxxxAμμμL=iii)向量表示法))(,),(),((21nAAAxxxAμμμL=当论域X为无限集时，X上的模糊集A可以写成-259-∫∈=XxAxxA)(μ注：“∫”也不是表示积分的意思，“iiAxx)(μ”也不是分数。例1设论域)}190(),180(),170(),160(),150(),140({654321xxxxxxX=(单位:cm)表示人的身高，X上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数)(xAμ可定义为140190140)(−−=xxAμ用zadeh表示法，65432118.06.04.02.00xxxxxxA+++++=用向量表示法，)1,8.0,6.0,4.0,2.0,0(=A例2设论域]1,0[=X，Fuzzy集A表示“年老”，B表示“年轻”，Zadeh给出A、B的隶属度函数分别为⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≤≤=−−10050])550(1[5000)(12xxxxA⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−+≤≤=−10025])525(1[2501)(12xxxxB94.0)70(≈A，即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。又易知8.0)60(≈A，02.0)60(≈B，可认为“60岁”是“较老的”。A＝“年老”＝∫−−−+1005012])550(1[xx-260-B＝“年轻”＝∫∫−−++1002512250])525(1[1xxx1.2.3模糊集的运算常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy集之间的运算。定义2对于论域X上的模糊集A，B，其隶属函数分别为)(xAμ，)(xBμ。i)若对任意Xx∈，有)()(xxABμμ≤，则称A包含B，记为AB⊆；ii)若BA⊆且AB⊆，则称A与B相等，记为BA=。定义3对于论域X上的模糊集A，B，i)称Fuzzy集BACU=，BADI=为A与B的并（union）和交（intersection），即)()()}(),(max{))((xBxAxBxAxBAC∨===U)()()}(),(min{)((xBxAxBxAxBAD∧===I他们相应的隶属度)(),(xxDCμμ被定义为)}(),(max{)(xxxBACμμμ=)}(),(min{)(xxxBADμμμ=ii)Fuzzy集CA为A的补集或余集(complement)，其隶属度)(1)(xxAACμμ−=例3已知},8,7,6,5,4,3,2,1{=X，51.044.038.025.013.0++++=A，65.059.043.032.0+++=B，则有-261-BAU＝65.059.044.038.025.013.0+++++，BAI＝51.043.032.0++，=CA81716159.046.032.025.017.0+++++++。1.2.4隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。（1）模糊统计方法模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素：i)论域X；ii)X中的一个固定元素0x；iii)X中一个随机变动的几何*A(普通集)；iv)X中一个以*A作为弹性边界的模糊集A，对*A的变动起着制约作用。其中*0Ax∈，或者*0Ax∉，致使0x对A的关系是不确定的。假设做n次模糊统计试验，则可计算出0x对A的隶属频率＝nAx的次数*0∈实际上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x对A的隶属度，即)(0xAμ＝nAxn的次数*0lim∈∞→（2）指派方法-262-指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中所包含地参数，常用的模糊分布如表1所示。实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：①偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小的程度的模糊现象。②偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大的程度的模糊现象。③中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。但是，表1给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修改进行完善，昀后得到近似程度更好的隶属函数。（3）其它方法在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度。下面举例说明。如果设论域X表示机器设备，在X上定义模糊集A＝“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品，在X上定义模糊集A＝“质量稳定”，则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭，在X上定义模糊集A＝“家庭贫困”，则可以用“Engel系数＝食品消费/总消费”作为A的隶属度。另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。-263-表1常用的模糊分布类型偏小型中间型偏大型矩阵型⎩⎨⎧≤=axaxA,0,1μ⎩⎨⎧≤≤=bxaxbxaA或,0,1μ⎩⎨⎧≥=axaxA,0,1μ梯形型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−−≤=bxbxaabxbaxA,0,,1μ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤−−≤≤≤≤−−=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxA,,0,,1,μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−−=bxbxaabaxaxA,1,,0μk次抛物型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−−≤=bxbxaabxbaxkA,0,)(,1μ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤−−≤≤≤≤−−=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxkkA,,0,)(,1,)(μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−−=bxbxaabaxaxkA,1,)(,0μΓ型⎩⎨⎧≤=−−axeaxaxkA,,1)(μ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=−−−bxebxaaxeaxkaxkA,,1,)()(μ⎩⎨⎧≥−=−−axeaxaxkA,1,0)(μ正态型⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−≤=axaxaxA,exp,12σμ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=2expσμaxA⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−≤=axaxaxA,exp1,02σμ柯西型⎪⎩⎪⎨⎧−+≤=axaxaxA,)(11,1βαμ)0,0(βαβαμ)(11axA−+=(βα,0为正偶数)⎪⎩⎪⎨⎧−+≤=−axaxaxA,)(11,0βαμ)0,0(βα1.3模糊关系、模糊矩阵-264-1.3.1基本概念定义4设论域U，V，乘积空间上},),{(VvUuvuVU∈∈=×上的一个模糊子集R为从从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属函数为Rμ：VU×]1,0[→，a),(yx),(yxRμ则称隶属度),(yxRμ为),(yx关于模糊关系R的相关程度。这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。设{}mxxxU,,,21L=，{}nyyyV,,,21L=，R为从从U到V的模糊关系，其隶属函数为),(yxRμ，对任意的),(jiyx∈VU×有]1,0[),(∈=ijjiRryxμ，njmi,,2,1,,,2,1LL==，记nmijrR×=)(，则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出一般的定义。定义5设矩阵nmijrR×=)(，且]1,0[∈ijr，njmi,,2,1,,,2,1LL==，则R称为模糊矩阵。特别地，如果}1,0{∈ijr，njmi,,2,1,,,2,1LL==，则称R为布尔(Bool)矩阵。当模糊方阵nnijrR×=)(的对角线上的元素ijr都为1时，称R为模糊自反矩阵。当1=m或者1=n时，相应地模糊矩阵为),,,(21nrrrRL=或者TnrrrR),,,(21L=，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。例4设评定科研成果等级的指标集为),,,(521xxxUL=，1x表示为科研成果发明或创造、革新的程度，2x表示安全性能，3x表示经济效益，4x表示推广前景，5x表示成熟性；V表示定性评价的评语论域),,,(4321yyyyV=，4321,,,yyyy分别表示很好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出VU×上每个有序对),(iiyx指定的隶属度。-265-表2有序对),(iiyx指定的隶属度Vy1很好y2较好y3一般y4不好x10.450.350.150.05x20.300.340.100.26x30.500.300.100.10x40.600.300.050.05x50.560.100.200.14由此确定一个从U到V的模糊关系R，这个模糊关系的隶属度函数是一个5×4阶的矩阵，记为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=14.02.01.056.005.005.03.06.01.01.03.05.026.01.034.03.005.015.035.045.0R则R为一个模糊关系矩阵。1.3