数项级数收散性判别法

第1页（共21页）华北水利水电大学数项级数的证明方法及应用1.课程名称：高等数学（2）2.专业班级：农业水利工程（16）班3.成员组成：李林201201614元奇201201601冯冰洋2012016054.联系方式：132037325682013年6月7日第2页（共21页）数项级数收敛性判别法作者：李林元奇冯冰洋指导老师：王田利摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献1的基础上新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路．关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路一，引言数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要内容．本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数．其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等．而构造高精度正项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数．但值得注意的是这个＂精确化＂的过程是没有尽头的，因为杜·布洼·雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更＂快＂的级数存在．还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更＂慢＂的级数存在．这说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的．本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别方法．一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了它们常见的性质及应用．从而丰富了数项级数收敛性的判别方法．1数项级数相关概念1.1数项级数及定义定义1给定一个数列nu，对它的各项依次用＂＂号连接起来的表达式第3页（共21页）nuuuu321（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中nu称为级数（1）的第n项或通项．数项级数（1）也常写作：1nnu或简单写作nu．数项级数（1）的前n项的和为nS，即nnuuuS21或n1kknuS，称为级数的n项部分和．定义２若数项级数（1）的部分和数列nS收敛于S(即SSnnlim)，则称数项级数（1）收敛,称S为数项级数(1)的和,记作nuuuuS321或nuS；若nS是发散数列，则称数项级数（1）发散．例1设1nna收敛，0limnnna．证明：11n1)(nnnnaaan.证记级数1n1)(nnaan的前n项和nS．则)()(2)(13221nnnaanaaaaS121nnnaaaa111)1(nnkkana．从而))1((limlim11n1nkknnnanaS11n)1(limnnnana1nna，即11n1)(nnnnaaan．1.2数项级数敛散性判别的充要条件定理（级数收敛的柯西准则）级数（１）收敛的充要条件：Nn，0，当Nmnm时，对Np有：pmmmuuu21．根据定理，我们立刻可以写出级数（1）发散的充要条件：Nn，00，)(0Nm和00p有：0210000pmmmuuu．（２）第4页（共21页）由定理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件．推论若级数（1）收敛，则0limnnu．注：在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级数是否发散．例2设正项级数1nna发散，其前n项和记为nS，试证级数1nnnSa也是发散的．证pnnpnnpnpnpnpkkpnkkkSSSSSSaSa11n1.因为nnSlim，故对Nn，当Np充分大时有21SpnnS，从而21211n1pnkkkSa，所以级数1nnnSa发散．命题设数项级数nu的部分和数列为nS，0limnnu，则1）若SSnn2lim或SSnn12lim，则SuSnnnlim；2）设)()()(:2124321nnuuuuuuV，1223412:nnuuuuuuV，则a)若（V）收敛于S,则Sun；b)若)(V收敛于S，则Sun．例3讨论级数)21(1111131131121121pnnpppppp的敛散性．第5页（共21页）解由于011lim11limpnpnnn，设22222111111212131311111122131111212:()()()().ppppppppppnVnnnpn为收敛，故由命题知原级数也收敛．2正项级数2.1正项级数及定义设有数项级数nu，若数项级数各项的符号都相同，称它为同号级数．其中，若各项均为正数，则称它为正项级数．2.2正项级数敛散性的一般判别原则定理1正项级数nu收敛的充要条件是它的部分和数列nS有上界．注：定理1解决了一类级数的收敛问题,不必研究SSnnlim，只需粗略地估计nS当n时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便．定理2设两个正项级数nu与nv，NnNN，，有nncvu，c是正常数．1）若级数nv收敛，则级数也收nu敛；2）若级数nu发散，则级数也nv发散．推论设两个正项级数nu与nv，且kvunnnlim)0(k．1）若级数nv收敛，且k0，则级数nu也收敛；2）若级数nv发散，且k0，则级数nu也发散．例4设1n2na收敛，证明：2nlnnnan收敛（0na）．第6页（共21页）证因为)ln1(21ln022nnannann，易知：2n2lnn1n收敛（积分判别法），又1n2na收敛，所以2n22)ln1(21nnan收敛．由比较原则知2nlnnnan）（0na收敛．总结1）比较原则重在＂比较＂，是利用两个正项级数的通项结构来比较．必须掌握等比级数，调和级数，p-级数的敛散性，因为比较原则的比较对象常常就是上述三种级数；2）要证明某一个级数nu收敛，需要找一个通项比nu大的收敛的整形级数nv，即nncvu，也就是需要将所求的级数通项级数项放大；3）要证明某一个级数发nu散，需要找一个通项比nu小的发散的正项级数nv，即nnucv，也就是需要将所求的级数通项缩小；4）判断正项级数nu敛散性的一般步骤：(ⅰ)检查通项：若0limnnu，可判断级数发散．否则进入(ⅱ)．(ⅱ)用比较原则．若1limnnu或极限不存在，则入(ⅲ)．(ⅲ)用比较原则或比较原则的极限形式，若无法找到适用的比较级数，则进入(ⅳ)．(ⅳ)检查正项级数的部分和数列nS是否有上界或判别nnSlim是否存在，若nS有上界则收敛,若无上界则发散；若nnSlim存在极限则收敛,反之发散．用比较原则判断正项级数的敛散性，需要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数，在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情．于是数学家们设想在比较原则的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式，不必另找比较级数，只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性．研究的结果获得了由比较原则派生出来的种种正项级数敛散性的判别法——比式判别法与根式判别法，它们都是以比较原则为基础，与几何级数1nar比较得到的，现介绍如下：第7页（共21页）2.3比式判别法与根式判别法2.3.1比式判别法(达朗贝尔判别法)定理3(比式判别法)设正项级数nu,存在常数q．1）若NnNN，，有11quunn，则级数nu收敛；2）若NnNN，，有11nnuu，则级数nu发散．推论若nu为正项级数，且luunnn1lim，则1）当1l时，级数nu收敛；2）当1l时，级数nu发散．注由于正项级数的通项的前后两项的比值一般不会直接得出一个常数，所以在判别正项级数的敛散性时常用比式判别法的推论．例5证明级数1n)!1!21!111(ne收敛．证因为nnbnnnea!1)!1!21!111(0，0)1(lim!1)!1()1(1limlim21nnnnnnbbnnnnn．由比式判别法知1nnb收敛，再由比较原则知1nna收敛，即1n)!1!21!111(ne收敛．总结1）当正项级数的一般项nu具有积、商、幂的形式，且nu中含有!n、!!n、na及形如)()2)((nbababa的因子时，用比式判别法比较简便．2）一般地，当nu是n的有理式时，用比式判别法得不出结果．例如级数1)2)(1(1nnn,由于1lim1nnnuu，故比式判别法失效．而第8页（共21页）1]1)2)(1(1[lim2nnnn，且级数121nn收敛，故由比较原则知，级数1)2)(1(1nnn也收敛．2.3.2根式判别法(柯西判别法)定理4(根式判别法)设正项级数nu，存在常数q．1）若NnNN，,有1qunn，则级数nu收敛；2）若存在无限个n，有1nnu，则级数nu发散．推论有正项级数nu，若lunnnlim，则1）当1l时，级数nu收敛；2）当1l时，级数nu发散．注由于正项级数的通项开n次方根一般不能直接得出一个常数，所以常用根式判别法的推论判别级数的敛散性．总结1）当正项级数的一般项nu为n次方形式，用根式判别法比较方便．从理论上来说，凡是能用比式判别法判断其敛散性的级数，必定也能用根式判别法来判断其敛散性，但反之不成立．例如：级数12)1(3nnn，因为为奇数．，为偶数，，nnuunnnnnnnnnnn141])1(3[2)1(3lim]2)1(32)1(3[limlim1111所以用比式判别法无法判定级数的敛散性，而可以用根式判别法，1212)1(3limlimnnnnnnnu，故原级数收敛．由此可见,根式判别法比比式判别法适用的面要广些，但通常比式判别法用起来方便些．第9页（共21页）２）一般情况下，在判别正项级数的敛散性时，若所求级数通项中出现对数、三角函数的有理式等形式时，考虑用比较原则及其推论，既省力又简单；若出现!nan（指数）、等形式时，考虑用比式判别法；若出现n的n次幂时，考虑用根式判别法判别其敛散性要好一些.2.3.3比式判别法和根式判别法失效的情况在比式判别法和根式判别法中只讨论了11ll或的情况，并没有考虑1l的情况，也没有考虑l不存在又是怎样的情况，这说明这两种判别法存在着一定的不足．1．对于比式判别法存在两点不足：(1)当1l时,判别法失效，既有收敛的，又有发散的级数．例如ｐ-级数；(2)比式判别法可能由于l根本不存在而失效．例如级数：是发散级数．法失效，但是不存在，从而比式判别有，则，，由于1)1(1115634121)1(3lim27lim31lim3333333nnnnnnnnnnnnnnnluuuuuu2．对于根式判别法存在两点不足：（1）当1l时，判别法失效，既有收敛的，又有发散的级数．例如p-级数；（2）根式判别法可能由于l根本不存在而失效．例如级数：654321312131213121)25)1((nnn由于31lim21limnnnnnnuu，