常微分方程练习卷(三)综合题

常微分方程练习卷（三）综合题选择题1.设()yfx是方程2'40yyy的一个解，若0()0fx，且0'()0fx，则函数()fx在点0x（）。(A)取得极大值(B)取得最小值(C)某个领域内单调增加(D)某个邻域内单调减少2.若连续函数()fx满足关系式220()()ln2xtfxfdt，则()fx=（）。(A)ln2xe(B)2ln2xe(C)ln2xe(D)2ln2xe3.设函数()fx处处可微且有'(0)1f，并对任何实数x和y，恒有()()xfxyefy()yefx，则()fx=（）。(A)xe(B)xxe(C)(1)xxe(D)(1)xxe4.设y是由方程00cos0yxtedttdt所确定的x函数，则dydx=（）。(A)cos1sinxx(B)cossin1xx(C)cosyxe(D)05.已知2()()aaydxydyxy为某函数的全微分。则a等于（）。(A)-1(B)0(C)1(D)26.设a，b，A，φ均是待定常数，则方程''cosyyx的一个特解具有形式（）。(A)cossinaxxbx(B)sin()Axx(C)cos()xAx(D)sin()xAx7.设函数()yx满足微分方程2()cos'tgyxxyyx，且当14x时，0y，则当0x时，y（）。(A)14(B)14(C)-1(D)18.方程()0xydyydx的通解是（）。(A)xyyce(B)yxyce(C)2yxyecx(D)2yxyecx9.设函数123(),(),()yxyxyx都是线性非齐次方程22()()()dydyaxbxyfxdxdx的特解，其中(),(),()axbxfx都是已知函数，则对于任意常数C1,C2，函数1(1yC211223)()()()CyxCyxCyx（）。(A)是所给微分方程的通解(B)不是微分方程的通解(C)是所给予微分方程的特解(D)可能是所给微分方程的通解，也可不是通解，但肯定不是特解10.已知方程''()'()0yPxyQxy的一个特解为1y，则另一个与它线性无关的特解为（）。(A)()21211Pxdxyyedxy(B)()21211Pxdxyyedxy(C)()2111Pxdxyyedxy(D)()2111Pxdxyyedxy11.微分方程2(1)(2cos)0xdyxyxdx满足01xy的特解为（）。(A)2sin11xyx(B)2cos11xyx(C)2cos11xyx(D)2sin11xyx12.微分方程2222(2)(2)0xyydxxxy的通解为（）。(A)()()xyxyCxye(B)()()xyxyCxye(C)()()xyxyCxye(D)()()xyxyCxye13.具有特解1xye，22xyxe，33xye的3阶常系数齐次线性微分方程是（）。(A)''0yyyy(B)''0yyyy(C)'611'60yyyy(D)'2'20yyyy答案：1A2B3B4B5D6B7C8A9D10A11D12C13B填空题1.微分方程2'xyyye的通解为____________________。2.微分方程2(4)0ydxxxdy的通解为____________________。3.微分方程'tgcosyyxx的通解为____________________。4.微分方程2yyx的通解为____________________。5.微分方程1'yye的通解为____________________。6.微分方程22sectgsectg0xydxyxdy的通解为____________________。7.微分方程2'xyyy的通解为____________________。8.微分方程'1yyy的通解为____________________。9.微分方程24'4xyyye的通解为____________________。10.2'2xyyye的通解为____________________。11.24'xyye的通解为____________________。12.2'50yyy的通解为____________________。13.差分方程12tttyyt的通解为____________________。14.差分方程121050ttyyt的通解为____________________。15.微分方程sin'coslnxyyxxe的通解为____________________。16.初值问题221()0(0)0xyxydxxdyxy的解为____________________。17.微分方程3'0xyy的通解为____________________。18.微分方程22'0xyye的通解为____________________。19.适合方程1'()()1fxfxdxx的所有连续可微函数()fx____________________。解答题1.求微分方程21'(1)yyxxx的通解。2.求微分方程5'62xyyye的通解。3.求微分方程2'xyyyxe的通解。4.求微分方程3'2xyyyxe的通解。5.求微分方程dyxxydx满足条件ln20xy的特解。6.求微分方程ln(ln)0xxdyyxdx满足条件0xey的特解。7.求微分方程22dyxyxydx满足条件2xeye的特解。8.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点(,)Pxy处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴的交点），且曲线在（1，1）处的切线与x轴平行。9.求微分方程2''4'4xyyye的通解。10.求微分方程3''2'3xyyye的通解。11.求连续函数()fx，使它满足20()2()xfxftdtx。12.求微分方程3()20yxdxxdy的通解。13.求微分方程'''cosyyxx的通解。14.假设：①函数()(0)yfxx满足条件(0)0f和0()1xfxe；②平行于y轴的动直线MN与直线()yfx与1xye分别相交于点；③曲线()yfx，直线MN与x轴所转封闭图形的面积，S恒等于线段12PP的长度，求函数()yfx的表达式。15.求微分方程22'xyxyy满足初始条件11xy的特解。16.设函数()yyx满足微分方程''3'22xyyye且其图形在点（0，1）处的切线与曲线21yxx在该点的切线重合，求函数()yyx。17.设物体A从点（0，1）出发，以常速v沿y轴正向运动，物体B从点（－1，0）与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。18.求微分方程sin'cos(ln)xyyxxe的通解。19.设函数()yyx满足条件'4'40(0)2,'(0)4yyyyy，求广义积分0()yxdx。20.设()fx具有二阶连续导数，(0)0,'(0)1ff，2[()()]['()]0xyxyfxydxfxxydy为一全微分方程，求()fx及此全微分。21.微分方程的通解2''sinyayx的通解，其中常数a＞0。22.设xye是微分方程'()xypxx的一个解，求此微分方程满足条件ln20xy的特解。23.设设单位质点在水平面内作直线运动，初速度00tvv，已知阻力与速度成正比（比例常数为1），问t为多少时，此质点的速度为03v？并求到此时刻该质点所经过的路程。24.设曲线L位于xoy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A，已知||||MAOA，且L过点33,22，求L的方程。25.已知连续函数()fx满足条件320()()3xxtfxfdte，求()fx。26.求微分方程2'''yyx的通解。27.求微分方程22yxydydxx的通解。28.设()fx为连续导数，⑴求初值问题0'()0xyayfxy的解()yx，其中a是正常数。⑵若()(fxkk为常数），证明：当x≥0时，有()(1)axkyxea。29.设函数()fu具有二阶连续导数，而(sin)xzfey满足方程22222xzzezxy，求()fu。30.求微分方程222(32)(2)0xxyydxxxydy的通解。31.已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某二阶线性微分方程的三个解，求此微分方程。32.设函数()fx在[0,]上连续，且满足方程222242241()()2txytftefxydxdy，求()ft。33.设函数()fx在[1,]上连续，若由曲线()yfx，直线1,(1)xxtt与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体积为2()[()(1)]3Vttftf，试求()yfx所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229xy的解。34.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0），试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数的关系式y＝y（v）。35.求初值问题221()0(0)0xyxydxxdyxy的解。36.求微分方程22'0xyye满足条件(0)1,'(0)1yy的解。