高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2；……等等。一、再现性题组：1.在正项等比数列{an}中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。2.方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。A.14k1B.k14或k1C.k∈RD.k＝14或k＝13.已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。A.1B.－1C.1或－1D.04.函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。A.（－∞,54]B.[54,+∞)C.(－12,54]D.[54,3)5.已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。【简解】1小题：利用等比数列性质ampamp＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r20即可，选B。3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3－11。二、示范性题组：例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。A.23B.14C.5D.6【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211424()()xyyzxzxyz,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xyyzxzxyz。长方体所求对角线长为：xyz222＝()()xyzxyyzxz22＝6112＝5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2.设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(pq)2+(qp)2≤7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,(pq)2+(qp)2＝pqpq442()＝()()pqpqpq2222222＝[()]()pqpqpqpq2222222＝()k22484≤7，解得k≤－10或k≥10。又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aab)1998＋(bab)1998。【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab。则代入所求式即得。【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，设ω＝ab，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1＝ba，ω3＝3＝1。又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab，所以(aab)1998＋(bab)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋999＝2。【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0，解出ba＝132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999＋(ba)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未132i联想到ω时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。三、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____。A.8B.()ab22C.ab222D.最小值不存在2.α、β是方程x2－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是_____。A.－494B.8C.18D.不存在3.已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2x＋8y有_____。A.最大值22B.最大值22C.最小值22B.最小值224.椭圆x2－2ax＋3y2＋a2－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。A.2B.－6C.－2或－6D.2或65.化简：218sin＋228cos的结果是_____。A.2sin4B.2sin4－4cos4C.－2sin4D.4cos4－2sin46.设F1和F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。7.若x－1，则f(x)＝x2＋2x＋11x的最小值为___________。8.已知2〈βα〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。(92年高考题)9.设二次函数f(x)＝Ax2＋Bx＋C，给定m、n（mn）,且满足A2[(m+n)2+m2n2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B2＋C2＝0。①解不等式f(x)0；②是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)0？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。10.设s1，t1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logs4t＋logt4s＋m(logs2t＋logt2s),①将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；②若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。