函数与导数知识点总结(高考必备)

1函数一、函数的概念：1、函数的概念：设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的y与之对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A.2、构成函数概念的三要素:定义域、值域、对应关系。二、函数的定义域：1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，（3）零取零次方没有意义；（4）对数函数的真数必须大于零，指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于12、复合函数定义域的求法：（1）定义域指的都是x的取值范围；（2）括号内范围保持一致三、函数的值域：求函数值域的方法：1、直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；2、换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；3、分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；4、反表示法：适合x有范围的情况，用y表示x，再利用x的范围求出y的范围；5、单调性法：利用函数的单调性求值域；6、图象法：二次函数必画草图求其值域；对号函数常用图像法求值域；7、判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；8、几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数四、函数的解析式：1、换元法：2、配凑法：3、待定系数法：4、消元法：五、函数的奇偶性：1、定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(x)=f(-x)，则称y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A，都有f(x)=-f(-x)，则称y=f(x)为奇函数。2、性质：（1）偶函数的图象关于Y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,(2)若奇函数在x=0处有定义，则必有f(0)=0;(3)奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇3、函数奇偶性的判断方法：（1）定义法：①看定义域是否关于原点对称；②看f(x)与f(-x)的关系（2）图像法：（3）利用性质：六、函数的单调性：1、定义：设函数f(x)，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当1x2x时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当1x2x时，都有)()(21xfxf，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数;2、性质：（1）函数y=f(x)与y=-f(x)单调性相反；（2）若函数f(x)恒正或恒负时，函数)(1xfy=与f(x)单调性相反；（3）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数；3、函数单调性的判断方法：（1）定义法：（作差、作除）（2）图像法：（3）利用性质：（4）导数法：设函)(xfy=在某个区间内可导，若0)(′xf，则)(xf为增函数；若0)(′xf，则)(xf为减函数.4、复合函数的单调性判断：同增异减，注意定义域七、函数的周期性：1、定义：一般的，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x）=f（x+T）;那么函数y=f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。2、性质：（1）若T是函数y=f(x)的周期，那么)0(≠∈nZnnT且也是它的周期；（2）若f(x+T)=-f(x),则f(x)的周期为2T；若)(1)(xfTxf±=+,则f(x)的周期为2T;八、图像的对称性：)()(xfyxfyx-=────→─=轴对称关于)()(xfyxfyy-=────→─=轴对称关于)-()(xfyxfy-=────→─=关于原点对称)()(xfyxfyxxx=───────────→─=轴对称轴下方关于轴上方不变，将保留)()(xfyxfyyy=────────────→─=轴对称侧图像关于轴右侧不变，并且将右保留2导数1、函数)(xfy=在点0x处的导数的几何意义：函数)(xfy=在点0x处的导数是曲线)(xfy=在))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf′，相应的切线方程是))((000xxxfyy-′=-.2、几种常见函数的导数①'C0=；②1')(-=nnnxx；③xxcos)(sin'=；④xxsin)(cos'-=；⑤aaaxxln)('=；⑥xxee=')(；⑦axxaln1)(log'=；⑧xx1)(ln'=3、导数的运算法则（1）'''()uvuv±=±.（2）'''()uvuvuv=+.（3）'''2()(0)uuvuvvvv-=≠.4、复合函数求导法则复合函数(())yfgx=的导数和函数(),()yfuugx==的导数间的关系为xuxyyu′′′=⋅，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.5、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极大值；极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＞)(0xf，则)(0xf是函数)(xf的极小值.(2)判别方法：①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值；②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.6、求函数的最值(1)求()yfx=在(,)ab内的极值（极大或者极小值）(2)将()yfx=的各极值点与(),()fafb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较3基本初等函数§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果axn=，那么x叫做a的n次方根。其中+∈Nnn,1.2、当n为奇数时，aann=；当n为偶数时，aann=.3、我们规定：⑴mnmnaa=()1,,,0*∈mNnma；⑵()01=-naann；4、运算性质：⑴()Qsraaaasrsr∈=+,,0；⑵()()Qsraaarssr∈=,,0；⑶()()Qrbabaabrrr∈=,0,0.§2.1.2、指数函数及其性质1、记住图象：()1,0≠=aaayx0a1a11y=axoyx2、性质：§2.2.1、对数与对数运算1、指数与对数互化式：logxaaNxN=⇔=；2、对数恒等式：logaNaN=.3、基本性质：01log=a，1log=aa.4、运算性质：当0,0,1,0≠NMaa时：⑴()NMMNaaalogloglog+=；⑵NMNMaaalogloglog-=⎟⎠⎞⎜⎝⎛；⑶MnManaloglog=.（4）换底公式：abbccalogloglog=，()0,1,0,1,0≠≠bccaa.（5）重要公式：loglognmaambbn=（6）倒数关系：abbalog1log=()1,0,1,0≠≠bbaa.§2..2.2、对数函数及其性质1、记住图象：()1,0log≠=aaxya2、性质：§2.3、幂函数1、几种幂函数的图象：1a10a图象654321-1-4-224601654321-1-4-224601(1)定义域：R（2）值域：（0，+∞）（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数性质(5)0,1xxa;0,01xxa(5)0,01xxa;0,1xxa1a10a图象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011(1)定义域：（0，+∞）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在（0，+∞）上是减函数性质(5)0log,1xxa；0log,10xxa(5)0log,1xxa；0log,10xxa0a1a11y=logaxoyx4函数的应用§3.1.1、方程的根与函数的零点1、方程()0=xf有实根⇔函数()xfy=的图象与x轴有交点⇔函数()xfy=有零点.2、零点存在性定理：如果函数()xfy=在区间[]ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0⋅bfaf，那么函数()xfy=在区间()ba,内有零点，即存在()bac,∈，使得()0=cf，这个c也就是方程()0=xf的根.§3.1.2、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.§3.2.1、几类不同增长的函数模型§3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.