正项级数敛散性的判别法及推广

正项级数敛散性的判别法及推广萨仁20082115046数学科学学院2008蒙班指导老师王瑞英摘要：级数是研究函数的一个重要工具，正项级数的敛散性判别法级数中非常重要的内容之一。本文章总结了正项级数收敛性的判别法，同时在一些基本的常见的判别法的基础上给出了几个新的关于正项级数敛散性的判别法。关键词：正项级数、收敛性、判别法1.正项级数的六种常用判别法1.1正项级数的收敛原理正项级数收敛部分和数列nS有上界。例题1：设,2,1,0nan，证明级数121)1()1)(1(nnnaaaa收敛。证：显然，该级数为正项级数。)1()1)(1()1)(1()1(2121211nnnaaaaaaaaaS)1(111a)1(11a)1)(1(121aa)1)(1)(1(1121naaa)1()1)(1(121naaa11)1()1)(1(121naaanS有界。从而原级数收敛。1.2较判别法设1nnu和1nnv是两个正项级数，且从级数的某项开始，以后的一切项都有nnvu。(1)若1nnv收敛，则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散。（比较判别法的极限形式）设1nnu和1nnv均为正项级数，且nnvu),2,1(n，若有lvunnnlim则（1）当l0时，两级数同时收敛或同时发散；（2）当0l且级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛；（3）当l且级数1nnv发散时，级数1nnu也发散；例题2：判断级数的敛散性11nnnn。解：记nUnnunnn1,1，注意到1limnnn011lim11limlimnnnnnnnnnnnnUu而11nn发散，故11nnnn也发散。1.3Cauchy判别法（或根式判别法）设1nnu为正项级数(1)若存在常数)0(ll，使得级数某项后的所有项都成立不等式1lunn，则级数级数1nnu收敛；(2)若级数某项后的所有项都成立不等式1nnu，则级数1nnu发散。（柯西判别法的极限形式）对于正项级数1nnu，设nnnurlim_____，那么，当1r时此级数必为收敛，当1r时此级数发散，而1r时此级数的收敛性需进一步判定。例题3：研究正项级数)0(,11anann的敛散性。解：由于,)1(limlimanaunnnnnn故（1）10a时，级数)0(,11anann收敛；（2）1a时，级数)0(,11anann发散；（3）1a时，由于)(111)1(Nnnnann，故级数nnna11发散。1.4D’alembert判别法（比式判别法）设1nnu是任意严格正项级数，并且nnnxx1lim（有限或）.（1）若1，则级数1nnx收敛。（2）若1，则级数1nnx发散。（3）若1，则级数1nnx没有敛散性的一般结论。例题4：研究正项级数)0(!1anannnn的敛散性。解：由于nnnnnnnnnannanxx!)1()!1(limlim111eanann)111(lim，故（1）ea时，级数)0(!1anannnn收敛。（2）ea时，级数)0(!1anannnn发散。（3）ea时，由于1)111(1nnnnaxx，故级数)0(!1anannnn发散。1.5柯西积分判别法对于正项级数1nnu，设nu为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数)(xf)0(x，使得当x等于正整数n时，其函数值恰为nu，亦即nunf)(。那么，级数1nnu与数列nA，这里dxxfAnn1)(，同为收敛或同为发散。例题5：考察级数2ln1npnn的敛散性。解：令xxxfpln1)(，显然)(xf是),2上的单调递减级数，由柯西积分判别法，仅需讨论2)(dxxf的敛散性。当1p时，2)(dxxf)2ln1ln1(lim11ln1lim12ppaapaapdxnx，因而当1p时，级数2ln1npnn收敛；当1p时，级数2ln1npnn发散。当1p时，2)(dxxf)]2ln(ln)[ln(lnlimln1lim2adxnxaaa，因而当1p时，级数2ln1npnn发散。综合以上讨论得知，当1p时，级数2ln1npnn收敛；当1p时，级数2ln1npnn发散。1.6积分判别法设1nnx是任意正项级数，若存在单调递下降的连续正函数],1[:Cf使得)(nfxn)(Nn则正项级数1nnx与广义积分1)(dxxf有相同的收敛发散性。例题6：讨论级数2)(ln1npnn的敛散性解：研究非正常积分2)(lnpxxdx，由于2ln22)(ln)(ln)(lnpppuduxxdxxdx当1p时收敛1p时发散，由积分判别法级数2)(ln1npnn在1p时收敛1p时发散。2.正项级数敛散性的一些新的判别法2.1拉贝判别法设0nu),2,1(n（1）如果存在1r使得当0nn时有ruunnn)1(1，那么级数1nnu收敛；（2）如果对充分大的n都有1)1(1nnuun，那么级数1nnu发散。证明：（1）取实数使得1r。由于rnnn11)11(lim，故对充分大的n有nrn1)11(。由ruunnn)1(1得)1()11(11nnnnruunn，即nnuunn1)1(11。由于1，所以11nn收敛，故级数1nnu是收敛。（2）由1)1(1nnuun得nnnuunn1111，既得nnnnuunn11111。由于级数11nn发散，故级数1nnu是发散的。（拉贝判别法的极限形式）若1nnu为正项级数，且Ruunnnn)1(lim1存在，则（1）当1时，级数1nnu收敛；（2）当1时，级数1nnu发散；（3）当1r时拉贝判别法无法判别。例题1：讨论级数,)2(421231snn当3,2,1s时的敛散性解：无论3,2,1s哪一个值，级数,)2(421231snn的比式极限都有1lim1nnnuu所以用比式判别法都无法判别此级数的敛散性，现在应用拉贝判别法来讨论，当1s时，由于)(2122)22121()1(1nnnnnnuunnn，所以级数是发散的.当2s时，由于)(1)22()34(])2212(1[)1(221nnnnnnnuunnn这时，拉贝判别法也无法对此级数作出判断。当3s时，由于3231)22()71812(])2212(1[)1(nnnnnnnuunnn)(23n，所以级数收敛.2.2高斯判别法设正项数列nu满足))(ln1(0ln111nnnnnnuunn，那么（1）当1时级数1nnu收敛；（2）当1时级数1nnu发散。证明：取nnvsnln1，则snssnnannnnnnnnvv)1)(11()]11ln(ln11)[11(]ln)1ln([11这里)ln1(0ln1))1(01(ln1)11ln(ln1nnnnnnnnnan故)ln1(0ln11)]ln1(0ln1)[11())(01)(11(1nnnnsnnnnnsnasanvvnnnn由已知可得)ln1(0ln11nnnnsvvuunnnn故当1时，取s使得s1时，可知级数1nnv收敛，所以级数1nnu收敛。当1时，取s1，即可得011nnnnvvuu，所以nnnnvvuu11。由级数1nnv发散，可得级数1nnu也发散。例题2：Gauss超几何级数nxnnnn)1()2)(1(!)1()1()1()1(1的敛散性，其中x,,,均为非负常数。解：因为xnnnnxnnnnaann1111111))(())(1(1，又因为111n210nn，111n210nn。所以1nnaa)1011(12nnx根据Gauss判别法可以判定：如果1x；或者1x，，那么级数收敛。如果1x；或者1x，，那么级数收敛。2.3对数判别法1),2,1(n，如果满足nannln)1ln(lim，则（1）当1时级数1nna收敛；（2）当1时级数1nna发散；证明：(1)1ln)1ln(limnunn，即知对00，)1(0，NN，Nn时有001)(lnln)(1lnln1ln00naNnnnanannn而101nn收敛，因此1nna收敛。(2)由1ln)1ln(limnunn，即知对01，)1(1，NN，Nn时，有naNnnnanannn1)(lnln)(1lnln1ln011而11nn发散，因此1nna发散。例题3:试判断级数的敛散性：5ln)(ln1nnn。解：这里nnnuln)(ln1，由于当20eenn时，2lnlnlnlnlnlnln1lnenennnnu112，根据对数判别法可知级数5ln)(ln1nnn收敛。2.4对数判别法2设函数)(xf在0x的右领域有定义，0)1(nunf，),2,1(n，若存在0a，使),0(x，,1ln)(lnaxxf则级数1nnu收敛，若1ln)(lnxxf，则级数1nnu发散。证明：若存在,1ln)(lnaxxf，当),0(x时，则)1(ln)(lnaxxf，)1()(axxf；annf11)1(，即annu11，由于111nan收敛，故1nnu收敛；若1ln)(lnxxf，当),0(x时，则有nnf1ln)1(ln，即nun1，由11nn发散，知1nnu发散，定理得证。例题4：研究级数的敛散性，tnnuln)0(t解：令txxfln1)(，则txtxxxflnlnlnlnln)(ln由定理当且仅当1lnt时，即et1时，级数1nnu收敛。2.5Riemann判别法设正项级数1nnx满足0limnanxn，那么（1）若1a且，则级数1nnx收敛；（2）若1a且0，则级数1nnx收敛；发散。证明：（1）设1a且，由于nanxnlim，故NN，1naxnNnannx1而级数Nnan1收敛，因此级数1nnx收敛。（2）设1a且0，这