信息论与编码原理-信息率失真函数

1第4章信息率失真函数本章主要讨论在信源允许一定失真情况下所需的最少信息率，从分析失真函数、平均失真出发，求出信息率失真函数R（D）。4.1平均失真和信息率失真函数4.2离散信源和连续信源的R（D）计算24.1平均失真和信息率失真函数4.1.1失真函数4.1.2平均失真4.1.3信息率失真函数R(D)4.1.4信息率失真函数的性质34.1平均失真和信息率失真函数在实际问题中，信号有一定的失真是可以容忍的。但是当失真大于某一限度后，信息质量将被严重损伤，甚至丧失其实用价值。要规定失真限度，必须先有一个定量的失真测度。为此可引入失真函数。44.1.1失真函数假如某一信源X，输出样值为xi，xi{a1,…an}，经过有失真的信源编码器，输出Y，样值为yj，yj{b1,…bm}。如果xi＝yj，则认为没有失真；如果xiyj，那么就产生了失真。失真的大小，用一个量来表示，即失真函数d(xi，yj)，以衡量用yj代替xi所引起的失真程度。一般失真函数定义为jijijiyxααyx),yd(x005失真矩阵单个符号的失真度的全体构成的矩阵，称为失真矩阵),(jiyxd),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mnnnmmbadbadbadbadbadbadbadbadbadd6均方失真：ijijixyxyxd/),(2),(jijiyxyxdjijiyxyxd),(其它，1,0),(),(jijijiyxyxyxd相对失真：误码失真：绝对失真：前三种失真函数适用于连续信源，后一种适用于离散信源。最常用的失真函数7失真函数的定义可以推广到序列编码情况，如果假定离散信源输出符号序列X=(X1X2…Xl…XL)，其中L长符号序列样值xi＝(xi1xi2…xil…xiL)，经信源编码后，输出符号序列Y=(Y1Y2…Yl…YL)，其中L长符号序列样值yj＝(yj1yj2…yjl…yjL)，则失真函数定义为：其中d(xil，yjl)是信源输出L长符号样值xi中的第l个符号xil时，编码输出L长符号样值yj中的第l个符号yjl的失真函数。LljliljiLyxdLd1),(1),(yx84.1.2平均失真由于xi和yj都是随机变量，所以失真函数d(xi，yj)也是随机变量，限失真时的失真值，只能用它的数学期望或统计平均值，因此将失真函数的数学期望称为平均失真，记为nimjjiijinimjjijibadabpapbadbapD1111),()/()(),()(ix信源编码器jy)(ijxyp9对于连续随机变量同样可以定义平均失真dxdyyxdyxpDxy),(),(LllLljlilLDLyxdELD111)],([1对于L长序列编码情况，平均失真为104.1.3信息率失真函数R(D)naaax,,21信源编码器nbbby,,21XY假想信道将信源编码器看作信道114.1.3信息率失真函数R(D)信源编码器的目的是使编码后所需的信息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平均失真就越大。给出一个失真的限制值D，在满足平均失真D的条件下，选择一种编码方法使信息率R尽可能小。信息率R就是所需输出的有关信源X的信息量。将此问题对应到信道，即为接收端Y需要获得的有关X的信息量，也就是互信息I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就变成了选择假想信道的问题，符号转移概率p(yj/xi)就对应信道转移概率。D121、D允许试验信道平均失真由信源分布p(xi)、假想信道的转移概率p(yj/xi)和失真函数d(xi，yj)决定，若p(xi)和d(xi，yj)已定，则可给出满足x下式条件的所有转移概率分布pij，它们构成了一个信道集合PD称为D允许试验信道。mjniDDabpPijD,,2,1;,,2,1:)/(132、信息率失真函数R(D)由于互信息取决于信源分布和信道转移概率分布，根据2-2节所述，当p(xi)一定时，互信息I是关于p(yj/xi)的U型凸函数，存在极小值。因而在上述允许信道PD中，可以寻找一种信道pij，使给定的信源p(xi)经过此信道传输后，互信息I(X；Y)达到最小。该最小的互信息就称为信息率失真函数R(D)，即);(min)(YXIDRDP14对于离散无记忆信源，R(D)函数可写成p(ai)，i＝1，2，…，n是信源符号概率分布；p(bj/ai)，i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m是转移概率分布；p(bj)，j＝1，2，…，m是接收端收到符号概率分布。nimjjijijiPPbpabpabpapDRDij11)()/(log)/()(min)(15例4-1-3设信源的符号表为A＝{a1，a2，…，a2n}，概率分布为p(ai)＝1/2n，i＝1，2，…，2n，失真函数规定为即符号不发生差错时失真为0，一旦出错，失真为1，试研究在一定编码条件下信息压缩的程度。jijiaadji01),(164.1.4信息率失真函数的性质1.R(D)函数的定义域⑴Dmin和R(Dmin)Dmin＝0对于连续信源)()0()(minXHRDR)()0()(minxHRDRc17(2)Dmax和R(Dmax)niijimjdpD1,,2,1maxmin选择所有满足R(D)＝0中D的最小值，定义为R(D)定义域的上限Dmax，即DDDR0)(maxmin因此可以得到R(D)的定义域为max,0DD18Dmax是这样来计算的。R(D)＝0就是I(X;Y)＝0，这时试验信道输入与输出是互相独立的，所以条件概率p(yj/xi)与xi无关。即jjijijpypxypp)()/(19求出满足条件的D中的最小值，即mjniijijdppD11maxmin11mjjpnimjijjidppD11此时平均失真为20从上式观察可得：在j=1，…，m中，可找到值最小的j，当该j对应的pj＝1，而其余pj为零时，上式右边达到最小，这时上式可简化成niijidp1niijimjdpD1,,2,1maxmin21例4-1-4设输入输出符号表为X＝Y{0，1}，输入概率分布p(x)={1/3，2/3}，失真矩阵为0110),(),(),(),(22122111badbadbadbadd22解：当Dmin＝0时，R(Dmin)＝H(X)＝H(1/3，2/3)＝0.91比特/符号，这时信源编码器无失真，所以该编码器的转移概率为1001P233131,32min032131,132031min,minmin2,12,12221212121112,1212,1maxjjjiijijdpdpdpdpdpD当R(Dmax)＝0时此时输出符号概率p(b1)＝0，p(b2)＝1，所以这时的编码器的转移概率为2221,baba1010P242、R(D)函数的下凸性和连续性3、R(D)函数的单调递减性容许的失真度越大，所要求的信息率越小。反之亦然。25综上所述，可以得出如下结论：R(D)是非负的实数，即R(D)0。其定义域为0～Dmax，其值为0～H(X)。当DDmax时，R(D)0。R(D)是关于D的下凸函数，因而也是关于D的连续函数。R(D)是关于D的严格递减函数。26由以上三点结论，对一般R(D)曲线的形态可以画出来：R(D)H(X)R(D)0DDmaxDR(D)0DmaxD信息率失真曲线274.2离散信源和连续信源的R（D）计算某些特殊情况下R（D）的表示式为：（1）当d(x,y)=(x-y)2，时，22221)(xexpDDRlog)(28(2)当d(x,y)=|x-y|，时，xexp2)(DDR1log)((3)当d(x,y)=(x,y)，p(x=0)=p，p(x=1)=1-p时，R(D)=H(p)－H(D)29这些R（D）可画成三条曲线0DmaxDR(D)H(3)(1)(2)图4-5信息率失真函数R(D)30例4-2-1设输入输出符号表为X＝Y{0，1}，输入概率分布p(x)=(p，1-p)，0p1/2，失真矩阵为求信息率失真函数R(D)。0110),(),(),(),(22122111badbadbadbadd310.10.20.30.40.5D1.00.80.60.40.20.0R(D)/bitp=0.5p=0.3p=0.2p=0.1图4－6R(D)=H(p)－H(D)，p为参数