恰当方程与积分因子

§2.5恰当方程与积分因子一、恰当方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(yxuudyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu定义1使得若有函数),,(yxu(,)(,)(,)duxyPxydxQxydy则称微分方程(,)(,)0,(1)PxydxQxydy是恰当方程..),()1(cyxu的通解为此时如0ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd32()dxyxy))()((ydygxdxfd1、恰当方程的定义需考虑的问题1)方程(1)是否为恰当方程?2)若(1)是恰当方程,怎样求解?3)若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2、方程为恰当方程的充要条件定理1(,)(,),PxyQxyR设函数和在一个矩形区域中连续且有连续的一阶偏导数则方程(,)(,)0,(1)PxydxQxydy为恰当方程的充要条件是(,)(,)(2)PxyQxyyx(,)(,)0(1)PxydxQxydy证明“必要性”设(1)是恰当方程,使得则有函数),,(yxudyyudxxuyxdu),((,)(,)PxydxQxydy故有(,),uPxyx(,)uQxyy从而2,Puyyx2.Quxxy从而有都是连续的和由于,22yxuxyu,22yxuxyu故(,)(,).PxyQxyyx“充分性”(,)(,)PxyQxyyx若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y满足则需构造函数),,(yxu(,)(,)(,),(4)duxyPxydxQxydy即应满足(,),(5)uPxyx(,),(6)uQxyy(,)(,)().uxyPxydxy,)(的任意可微函数是这里yyyu因此()(,)(7)dyQPxydxdyy(7),x下面证明的右端与无关x即对的偏导数常等于零,事实上[(,)]QPxydxxy[(,)]QPxydxxxy(,),(6)uQxyy即同时满足使下面选择),6(),(uy()(,)dyPxydxydyQ(,)(,)().uxyPxydxy[(,)]QPxydxxyxQPxy.0积分之得右端的确只含有于是,)7(,y()[(,)],yQPxydxdyy故(,)(,)uxyPxydx[(,)],QPxydxdyy(8)(,),(1)uxy即存在从而为恰当方程()(,)(7)dyQPxydxdyy注:若(1)为恰当方程,则其通解为(,)[(,)],PxydxQPxydxdyccy为任常数二、恰当方程的求解1、不定积分法1)(,)(,)0.PxydxQxydy判断是否为恰当方程若是进入下一步2)(,)(,)()uxyPxydxy求3)(,)().uQxyyy由求例1验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.解:(,),(,)2sin.xPxyeyQxyxy这里(,)1Pxyy所以故所给方程是恰当方程.满足由于所求函数),(yxu,yexux,sin2yxyu,,xyeyx由偏导数的定义只要将看作常数将对积分得)()(),(ydxyeyxux).(yyxex(,),Qxyx).(),(yyxeyxux应满足的方程为得求偏导数关于对)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex在判断微分方程是全微分方程以后，也可以采用所谓“分项组合”的方法来求解。先把那些本身构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分。这样需要熟记一些简单二元函数的全微分，如2、分组凑微法采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.---应熟记一些简单二元函数的全微分.如xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223(,)36,(,)64MxyxxyNxyxyy这里(,)12Mxyxyy所以故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:34223,xyxycc为任常数.,),(xyxN例3验证方程,0)1()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:22(,)cossin,(,)(1)MxyxxxyNxyyx这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.方程重新“分项组合”得,0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd,0xy2,),(xyxN,0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx得由初始条件,2)0(y,4c故所求的初值问题的解为:.4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3、线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:(,)(,),PxyQxyyx由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:(,)(,)(,)PxydxQxydyuxy为某函数的全微分使即有函数),,(yxu(,)(,)(,),duxyPxydxQxydy(1)从而为恰当方程则取这时,),(,00Ryx00(,)(,)(,)(,)(,)xyxyuxyPxydxQxydy00(,)xxPxydx0(,),yyQxydy从而(1)的通解为000(,)(,),xyxyPxydxQxydycc为任常数.例4求解方程.0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:2(,)cos2,(,)sin2yyMxyyxxeNxyxxeyyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.,),(),,(全平面上连续在由于yxNyxM则故取),0,0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2)1(sin2yexxyy.,2sin2为任常数ccyexxyy故通解为:.2sin2yexxyy),()0,0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu,2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM0122dyyxydxyxy解xNyyM21故为恰当（全微分）方程。例根据公式，（选取)1,000yxCdyyydxyxyyx120012Cyyxxln2通解为练习10)1(22yxydxxdyydyxdx0324)2(23222dyyxyedxxeyxyxy0)1(22yxydxxdyydyxdx解方程可写为012121222xyxydydxd显见，此为恰当方程，积分之，得通解22tan22xyyarcCx0324)2(23222dyyxyedxxeyxyxy解23232,,4,22yxyeyxNxeyyxMxyxyxNexyyeyMxyxy22322故为恰当方程，根据（2.3.4）式得通解为Cdyyxyedxxyxyx020332402即Cyexxy342三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:,0)()(dxyxfdy不是恰当方程.得方程两边同乘以,)(1y,0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10))((对一阶线性方程:,0))()((dxxQyxPdy不是恰当方程.(),Pxdxe方程两边同乘以得,0))()(()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则()()(())0PxdxPxdxdeyQxedx或左边是恰当方程.可见,一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.()()()PxdxPxdxepxex()(()())PxdxepxyQxy1定义(,)0,xy如果存在连续可微函数使得(,)(,)(,)(,)0xyPxydxxyQxydy.)1(),(,的一个积分因子是方程则为恰当方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一个积分因子是方程验证dyyxxdxxyyyxyx解:对方程有(,)(,)xyPxy(,)(,)xyQxy332243yxyx24332yxyx(,)(,)0,(1)PxydxQxydy由于(,)(,)xyPxyy(,)(,)xyQxyx222126yxyx(,)xy故所给方程乘于后为恰当方程.),(是其积分因子所以yx后得对方程两边同乘以yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:。ccyxyx为任常数,34232、积分因子的确定(,)(,)(,)0:xyPxydxQxy是方程的积分因子的充要条件是(,)(,)(,)(,)xyPxyxyQxyyx即()PQQPxyyx()PQQPxyyx(,),(,),(,)(,)0.xyxyPxydxQxydy上面方程是以为未知函数的偏微分方程要想从以上方程求出一般来说比直接解微分方程更困难尽管如此,方程()PQQPxyyx还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.(,)(,)0(,)(),PxydxQxyxxyx如果方程存在仅与有关的积分因子则0,y这时方程()PQQPxyyx变成()PQdyxdxQ()dPQQdxyx即,有关由于上式左侧仅与x,的函数的微分所以上式右侧只能是x(,)(,)0PxydxQxyx从而微分方程有一个仅依赖于的积分因子的必要条件是()(10)PQyxQ此时求得积分因子()()PQyxxQ这里,)()(dxxex(),.xxy只是的函数而与无关.),()10(无关而与的函数只是若yxx()(),xdxxe则(,)(,)0PxydxQxydy是方程一个积分因子()()PQyxxQ这里dxxd)(()(,)xQxyx()(,)(,)()dxQNxyQxyxdxx()(,)()xdxQxyex(,)()Qxy