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总习题十二1填空(1)xy2x2y2x3yx41是______阶微分方程解是3阶微分方程(2)若M(xy)dxN(xy)dy0是全微分方程则函数M、N应满足______解xNyM(3)与积分方程xxdxyxfy0),(等价的微分方程初值问题是______解方程两边对x求导得yf(xy)显然当xx0时y0因此与积分方程等价的微分方程初值问题是yf(xy)0|0xxy(4)已知y1、yx、yx2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解则该方程的通解为______解容易证明非齐次线性微分方程的任意两个解的差是对应齐次线性微分方程的的解因此y1x1和y2x21都是对应齐次线性微分方程的的解显然y1与y2是线性无关所以非齐次线性微分方程的通解为yC1(x1)C2(x21)12求以下列各式所表示的函数为通解的微分方程(1)(xC)2y21(其中C为任意常数)解将等式变形21yCx两边对x求导得211yyy从而1y2y2y2即所求微分方程为y2(1y2)1(2)yC1exC2e2x(其中C1、C2为任意常数)解两边对x求导得yC1ex2C2e2xyC2e2x即yyC2e2x(1)再求导得yy2C2e2x(2)(2)(1)2得y2yy2y即所求微分方程为y3y2y03求下列微分方程的通解(1)xyyyx2解将方程变形为xyxyy1212即xyxy121)(其通解为)(1)1(2121CxxCdxexeydxxdxx即原方程的通解为xCxy2)((2)xylnxyax(lnx1)解将方程变形为)ln11(ln1xayxxy其通解为)ln(ln1])ln11([ln1ln1CxaxxCdxexaeydxxxdxxx即原方程的通解为xCaxyln(3))(ln2xyydxdy解将方程变形为yyxydydxln22其通解为)21ln(1)ln2(22222CyyyyCdyeyyexdyydyy即原方程的通解为221lnyCyx(4)033yxxydxdy解将方程变形为3231xxydxdyy即32222)(xxydxyd其通解为)())2([22222322CeexeCdxexeyxxxxdxxdx即原方程的通解为1222xCeyx(5)022yxxdyydxydyxdx解因为)2(22yxdydyxdx2222)(11yxdyydxyxyxxdyydx)(arctan)()(112yxdyxdyx所以原方程可写成0)arctan22(22yxyxd从而原方程的通解为Cyxyxarctan222(6)yyy210解令yp则dydppy原方程化为012pdydpyp或ypydypd22)(22其通解为1)()2(222222CyCyyCdyeyepdyydyy于是12Cyy即dxyCdy1)(21(CC12)积分得2211)1)(ln(CxyCyC化简得原方程的通解)(ch121CxCy(7)y2y5ysin2x解齐次方程y2y5y0的特征方程为r22r50其根为r1212i因为f(x)sin2xi2i不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*Acos2xBsin2x代入原方程得(A2B)cos2x(B4A)sin2xsin2x比较系数得174A171Bxxy2sin1712cos174*因此原方程的通解为xxxCxCeyx2sin1712cos174)2sin2cos(21(8)yy2yx(ex4)解齐次方程yy2y0的特征方程为r3r22r0其根为r10r21r32齐次方程yy2y0的通解为yC1C2exC3e2x原方程中f(x)f1(x)f2(x)其中f1(x)xexf2(x)4x对于方程yy2yxex因为1是特征方程的根故其特解可设为y1*x(AxB)ex代入yy2yxex得(6Ax8A3b)exxex比较系数得61A94B故xexxy)9461(*1对于方程yy2y4x因为0是特征方程的根故其特解可设为y2*x(CxD)代入yy2y4x得4Cx2C2D4x比较系数得C1D1故y2*x(x1)因此原方程的通解为xxexxeCeCCyxxx222321)9461((9)(y43x2)dyxydx0解将原方程变形为323yxydydxx或32226)(yxydyxd其通解为)(])2([266362CyyCdyeyexdyydyy即原方程的通解为x2y4Cy6(10)yxxy2解令yxu2则yu2x2xdxduudxdy22故原方程化为uxdxduu2即21)(21uxdxdu这是齐次方程因此令zxu则uxzdxdzxzdxdu则上述齐次方程化为2121zdxdzxz即)112(21zzdxdzx分离变量得xdxzzzdz21122积分得123ln21)132ln(61Cxzz即2z33z21Cx3)(16CeC将xuz代入上式得2u33xu2x3C再代入yxu2得原方程的通解Cxyxyx32)(23324求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y3dx2(x2xy2)dy0x1时y1解原方程变形为2322xyxydydx即31222yxydydxx或31122)(yxydyxd其通解为)ln2(1)2(22321CyyCdyeyexydyy即原方程的通解为y2x(2lnyC)由y|x11得C1故满足所给初始条件的特解为y2x(2lny1)(2)yay20x0时y0y1解令yp则原方程化为02apdxdp分离变量得adxpdp2两边积分得11Caxp即11Caxy代入初始条件y(0)1得C11故11axy方程两边积分得2)1ln(1Caxay代入初始条件y(0)0得C20因此满足所给初始条件的特解为)1ln(1axay(3)2ysin2y0x0时2yy1解令yp则原方程化为02sin2ydydpp分离变量得2pdpsin2ydy两边积分得122cos21Cyp代入初始条件y(0)1得211C因而yyy22sin212cos21即ysiny分离变量得dxydysin两边积分得2cos1cos1ln21Cxyy代入初始条件2)0(y得C20因此满足所给初始条件的特解为yyxcos1cos1ln21(4)y2yycosxx0时y023y解齐次方程y2yy0的特征方程为r22r10其根为r121齐次方程y2yy0的通解为y(C1C2x)ex因为f(x)cosxii不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*AcosxBsinx代入原方程得2Asinx2Bcosxcosx比较系数得A021B故xysin21*从而原方程的通解为xexCCyxsin21)(21将初始条件代入通解得23210211CCC解之得C10C21因此满足所给初始条件的特解为xxeyxsin215已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程解设点(xy)为曲线上任一点则曲线在该点的切线方程为Yyy(Xx)其在纵轴上的截距为yxy因此由已知有yxyx即11yxy这是一个一阶线性方程其通解为)ln(])1([11CxxCdxeeydxxdxx即方程的通解为yx(Clnx)由于曲线过点(11)所以C1因此所求曲线的方程为yx(1lnx)6已知某车间的容积为30306m3其中的空气含012%的CO2(以容积计算)现以含CO2004%的新鲜空气输入问每分钟应输入多少才能在30min后使车间空气中CO2的含量不超过006%?(假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀后以相同的流量排出)解设每分钟应输入的空气为am3t时刻车间中CO2的浓度为x(t)则车间中CO2的含量(以体积计算)在t时刻经过dtmin的改变量为30306dx00004adtaxdt分离变量得dtadxx54000004.01由于x00004故两边积分得Ctaxln5400)0004.0ln(即taCex54000004.0由于开始时车间中的空气含012%的CO2即当t0时x00012代入上式得C00008因此taex54000008.00004.0由上式得0008.0004.0ln5400xta由于要求30min后车间中CO2的含量不超过006%即当t30时x00006将t30x00006代入上式得a180ln4250因为054000008.05400taex所以x是a的减函数考试当a250时可保证x00006因此每分钟输入新鲜空气的量不得小于250m37设可导函数(x)满足1sin)(2cos)(0xtdttxxx求(x)解在等式两边对x求导得(x)cosx(x)sinx2(x)sinx1即(x)tanx(x)secx这是一个一阶线性方程其通解为)sec()(tantanCdxxeexxdxxdxcosx(tanxC)sinxCcosx在已知等式中令x0得(0)1代入通解得C1故(x)sinxcosx8设函数uf(r)222zyxr在r0内满足拉普拉斯(Laplace)方程0222222zuyuxu其中f(r)二阶可导且f(1)f(1)1试将拉普拉斯方程化为以r为自变量的常微分方程并求f(r)解因为rxzyxxxr22222所以)()(rfrxxrrfxu)()()()(22322222rfrxrfrxrxrrfrxrfrxrxrxu同理可得)()(2232222rfryrfryryu)()(2232222rfrzrfrzrzu于是)()(3222232222222222rfrzyxrfrzyxrzuyuxu22322)()(2druddrdurrfr
本文标题:总习题十二高等数学同济大学第六版本
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