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1中考数学压轴题一.因动点产生的等腰三角形问题例1:(2012•德阳)在平面直角坐标xOy中,(如图)正方形OABC的边长为4,边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上,点D是OC的中点,BE⊥DB交x轴于点E.(1)求经过点D、B、E的抛物线的解析式;(2)将∠DBE绕点B旋转一定的角度后,边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交(1)中的抛物线于M(不与点B重合),如果点M的横坐标为,那么结论OF=DG能成立吗?请说明理由;(3)过(2)中的点F的直线交射线CB于点P,交(1)中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使△PFE为等腰三角形,求Q点的坐标.2例2:2012年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图13例3:2012年临沂市中考第26题如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.图14二.因动点产生的直角三角形问题例1:(2011德阳)(本小题满分14分)如图,已知抛物线经过原点O,与x轴交于另一点A,它的对称轴2x与x轴交于点C,直线21yx经过抛物线上一点B(3m,),且与y轴、直线2x分别交于点D,E.(1)求抛物线对应的函数解析式并用配方法把这个解析式化成2()yaxhk的形式;(2)求证:CD⊥BE;(3)在对称轴2x上是否存在点P,使△PBE是直角三角形,如果存在,请求出点P的坐标,并求出△PAB的面积;如果不存在,请说明理由。5例2:2013年山西省中考第26题如图1,抛物线213442yxx与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求点A、B、C的坐标;(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.图16例3:2012年广州市中考第24题如图1,抛物线233384yxx与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A、B的坐标;(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有....三个时,求直线l的解析式.图17三.因动点产生的平行四边形问题例1:2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)求tan∠ABO的值;(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.图18例2:2012年烟台市中考第26题如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.图19例3:2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数334yx的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数32yx的图象上,且MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M.(1)求线段AM的长;(2)求这个二次函数的解析式;(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数334yx的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.图110例4:2009年江西省中考第24题如图1,抛物线322xxy与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF//DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?②设△BCF的面积为S,求S与m的函数关系.图111中考数学压轴题(解析)一.因动点产生的等腰三角形问题例1:(2012•德阳)在平面直角坐标xOy中,(如图)正方形OABC的边长为4,边OA在x轴的正半轴上,边OC在y轴的正半轴上,点D是OC的中点,BE⊥DB交x轴于点E.(1)求经过点D、B、E的抛物线的解析式;(2)将∠DBE绕点B旋转一定的角度后,边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交(1)中的抛物线于M(不与点B重合),如果点M的横坐标为,那么结论OF=DG能成立吗?请说明理由;(3)过(2)中的点F的直线交射线CB于点P,交(1)中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使△PFE为等腰三角形,求Q点的坐标.思路点拨(1)本题关键是求得E点坐标,然后利用待定系数法求抛物线解析式.如题图,可以证明△BCD≌△BAE,则AE=CD,从而得到E点坐标;(2)首先求出M点坐标,然后利用待定系数法求直线MB的解析式,令x=0,求得G点坐标,进而得到线段CG、DG的长度;由△BCG≌△BAF,可得AF=CG,从而求得OF的长度.比较OF与DG的长度,它们满足OF=DG的关系,所以结论成立(3)本问关键在于分类讨论.△PFE为等腰三角形,如解答图所示,可能有三种情况,需逐一讨论并求解.满分解答解:(1)∵BE⊥DB交x轴于点E,OABC是正方形,∴∠DBC=EBA.12在△BCD与△BAE中,∵,∴△BCD≌△BAE,∴AE=CD.∵OABC是正方形,OA=4,D是OC的中点,∴A(4,0),B(4,4),C(0,4),D(0,2),∴E(6,0).设过点D(0,2),B(4,4),E(6,0)的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有:,解得,∴经过点D、B、E的抛物线的解析式为:y=x2+x+2.(2)结论OF=DG能成立.理由如下:由题意,当∠DBE绕点B旋转一定的角度后,同理可证得△BCG≌△BAF,∴AF=CG.∵xM=,∴yM=xM2+xM+2=,∴M(,).设直线MB的解析式为yMB=kx+b,∵M(,),B(4,4),∴,解得,∴yMB=x+6,∴G(0,6),∴CG=2,DG=4.∴AF=CG=2,OF=OA﹣AF=2,F(2,0).∵OF=2,DG=4,∴结论OF=DG成立.(3)如图,△PFE为等腰三角形,可能有三种情况,分类讨论如下:①若PF=FE.13∵FE=4,BC与OA平行线之间距离为4,∴此时P点位于射线CB上,∵F(2,0),∴P(2,4),此时直线FP⊥x轴,[来源:21世纪教育网]∴xQ=2,∴yQ=xQ2+xQ+2=,∴Q1(2,);②若PF=PE.如图所示,∵AF=AE=2,BA⊥FE,∴△BEF为等腰三角形,∴此时点P、Q与点B重合,∴Q2(4,4);③若PE=EF.∵FE=4,BC与OA平行线之间距离为4,∴此时P点位于射线CB上,∵E(6,0),∴P(6,4).设直线yPF的解析式为yPF=kx+b,∵F(2,0),P(6,4),∴,解得,∴yPF=x﹣2.∵Q点既在直线PF上,也在抛物线上,∴x2+x+2=x﹣2,化简得5x2﹣14x﹣48=0,解得x1=,x2=﹣2(不合题意,舍去)∴xQ=2,∴yQ=xQ﹣2=﹣2=.∴Q3(,).综上所述,Q点的坐标为Q1(2,)或Q2(4,4)或Q3(,).14例2:2012年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图1思路点拨1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小.2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分解答(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,设y=a(x+1)(x-3),代入点C(0,3),得-3a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.由BHPHBOCO,BO=CO,得PH=BH=2.所以点P的坐标为(1,2).图2(3)点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的:设点M的坐标为(1,m).在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.此时点M的坐标为(1,1).②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得6m.此时点M的坐标为(1,6)或(1,6).15③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.当M(1,6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).图3图4图5例3:2012年临沂市中考第26题如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.图1思路点拨1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的距离公式列方程;然后解方程并检验.2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.满分解答(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,23OC.所以点B的坐标为(2,23).16(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4,0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点B(2,23),232(6)a.解得36a.所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx.(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得23y.当P在(2,23)时,B、O、P三点共线(如图2).②当BP=BO=4时,BP2=16.所以224(23)16y.解得1223y
本文标题:中考数学压轴题
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