概率论与数理统计答案-第四版-第1章(浙大)

1、写出下列随机试验的样本空间S：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查结果。（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1)解：设该班学生数为n，总成绩的可取值为0,1,2,3，…，100n，(2)解：S={10、11、12…}所以试验的样本空间为S={i/n|i=1、2、3…100n}(3)解：设1为正品0为次品S={00，100，1100，010，1111，1110，1011，1101，0111，0110，0101，1010}(4)解：取直角坐标系，则S={（x，y）|x2+y21}取极坐标系，则S={（ρ，θ）|ρ1,0≤θ2π}2.设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C不发生（2）A与B都发生，而C不发生（3）A,B,C中至少有一个要发生（4）A,B,C都发生（5）A,B,C都不发生（6）A,B,C中不多于一个发生（7）A,B,C中不多于两个发生（8）A,B,C中至少有两个发生解：以下分别用Di（i=1,2,3,4,5,6,7,8）来表示（1），（2），（3），（4），（5），（6）,(7),(8)（1）A发生，B与C不发生表示,AB,C同时发生，故D1=ABC（2）A与B都发生，而C不发生表示A，B，C同时发生，故D2=ABC（3）法一：A,B,C中至少有一个要发生由和事件定义可知，D3=A∪B∪C法二：A,B,C中至少有一个要发生是事件A,B,C都不发生的对立面，即D3=ABC法三：A,B,C中至少有一个要发生可以表示为三个事件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即D3=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC(4)A,B,C都发生表示A,B,C都发生，故D4=A∪B∪C=ABC(5)A,B,C都不发生表示ABC都不发生，故D5=ABC(6)法一：A,B,C中不多于一个发生可以表示为三个事件中恰有一个发生或一个都不发生，即D6=ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即D6=AB∪AC∪BC法三：A,B,C中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即D6=ABACBC(7)法一：A,B,C中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即D7=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中不多于两个发生可以表示为至少有一个不发生，即D7=A∪B∪C法三：A,B,C中不多于两个发生可以表示为三个都发生的对立面，即D7=ABC(8)法一：A,B,C中至少有两个发生即为三个事件中发生两个或者三个都发生，即D8=ABC∪ABC∪ABC∪ABC法二：A,B,C中至少有两个发生，即D8=AB∪AC∪BC法三：A,B,C中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，D8=ABUACUBC3（1）设A,B,C三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求A∪B,𝐴̅𝐵̅,𝐴∪𝐵∪𝐶,𝐴̅𝐵̅𝐶̅,𝐴̅𝐵̅𝐶,𝐴̅𝐵̅∪𝐶的概率（3）P(A)=1/2,(A.)若A,B互不相容，求P(A𝐵̅)(B.)若P(AB)=1/8,求P(A𝐵̅)（1）P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P(C)—P（AB）—P（AC）—P（BC）＝3/4-1/8＝5/8（2）P(A∪B)=P（A）+P（B）-P（AB）=5/6-1/10=11/15P（AB）=P(𝐴∪𝐵̅̅̅̅̅̅̅)=1-P(A∪B)＝1－11/15＝4/15P(A∪B∪C)＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（AB）—P（AC）—P（BC）＋P（ABC）＝17/20P（ABC）=P(𝐴∪𝐵∪𝐶̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)=1-P(A∪B∪C)＝1-17/20＝3/20P（ABC）＝P（C）-P（AC）-P（BC）＋P(ABC)＝7/60P（AB∪C）=P(𝐴∪𝐵̅̅̅̅̅̅̅∪C)=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)＝7/20（3）A.P（AB）＝P(A)=1/2因为AB不相容所以AB一个发生另一个一定不发生B.P（AB）＝P（A）-P（AB）＝3/84.设A,B是两个事件.（1）已知A𝐵̅=𝐴̅𝐵验证A=B.（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB).解：法一（1）∵A𝐵̅=𝐴̅𝐵，∴(A𝐵̅)∪(𝐴𝐵)=(𝐴̅𝐵)∪(𝐴𝐵),∴A(B̅∪B)=B(A̅∪A),∴AS=BS,∴A=B.（2）事件A与事件B恰有一个发生即事件AB̅∪A̅BP(AB̅∪A̅B)=P(AB̅)+P(A̅B)=P[A(S-B)]+P[(S-A)B]=P(A-AB)+P(B-AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)法二（1）∵A𝐵̅=𝐴−𝐵,𝐵𝐴̅=𝐵−𝐴;又A𝐵̅=𝐵𝐴̅，∴A−B=B−A∴A=B即证。（2）原理同（1），事件A与事件B恰有一个发生即事件AB̅∪A̅B即P(AB̅∪A̅B)=P(AB̅)+P(A̅B)=P(A-B)+P(B-A)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)5.10片药片中有5片安慰剂。（1）从中任意抽取5片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为事件A.𝑃(𝐴)=1−𝐶55𝐶105−𝐶54𝐶51𝐶105=1−110×9×8×7×65×4×3×2×1⁄−(5×5)10×9×8×7×65×4×3×2×1⁄=113126（2）设前三次都取到安慰剂为事件B。P(B)=𝐶51𝐶41𝐶31𝐶101𝐶91𝐶81=5×4×310×9×8=1126在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章。任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率.(2)求最大号码为5的概率.解：E:在房间里面任选3人，记录其佩戴纪念章的号码.10人中任选3人𝐶103=120种，即样本总数。记事件A为最小号码为5，记事件B为最大号码为5.（1）P(A)=𝐶52/𝐶103=5!∗3!∗7!2!∗3!∗10!=112（2）P(B)=𝐶42/𝐶103=4!∗3!∗7!2!∗2!∗10!=120.7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设事件“该订户得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆订货”为事件A共17桶油漆，该客户订货共4+3+2=9桶，题意即为客户在17桶中选9桶，其中10桶白漆中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶红漆中占有两桶。所以分母为C917，分子为C410C34C23，即所求概率为P（A）=𝐶104𝐶43𝐶32𝐶179=25224318．在1500件产品中有400件次品、1100件正品。任取200件（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：设A表示事件“恰好有90件次品”，Bi表示事件“恰好有i件次品（i＝0、1）”，C表示事件“至少有2件次品”。E表示“从1500件产品中任取200件”（1）N(S)=𝐶1500200N(A)=𝐶40090𝐶1100110𝑃=𝑁(𝐴)𝑁(𝑆)=𝐶40090𝐶1100110𝐶1500200（2）C=S-B0-B1P(C)=P(S-B0-B1)=P(S-[B0∪B1])＝1-P(B0)-P(B1)𝑃(𝐶)=1−𝑁(𝐵0)𝑁(𝑆)−𝑁(𝐵1)𝑁(𝑆)=1−𝐶1100200𝐶1500200−𝐶4001𝐶1100199𝐶15002009.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解、法一、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A,则P（A）=1-P(A)=1-4104452*CC=2113故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21法二、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A,则P（A）=1-P（A）=1-41044*6*8*10C！=2113（因为不考虑次序所以除以4！）故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21法三、设至少有两只配成一对的为事件A，则P(A)=41022415252**CCCC=2113法四、设至少有两只配成一对的为事件A,这四只鞋中没有配成一对的为事件A,则P（A）=1-P（A）=1-7*8*9*104*6*8*10=211310.在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解：方法一：假设连抽7张排列结果为ability为事件AP（A）=𝐶21×𝐶21𝐴117=1415800方法二：以A，B，C，D，E，F，G依次表示取得字母a,b,i,l,i,t,y各事件，则所求概率为P（ABCDEFG）=P（A）P（B|A）P（C|AB）P（D|ABC）P（E|ABCD）×P（F|ABCDE）P（G|ABCDEF）=111×210×29×18×17×16×15=4𝐴11711、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。解：将3只球随机放入4个杯子中去的方法总数有4×4×4=43种设杯子中球的最大个数为i个为事件𝐴𝑖则有134323()84PA2323439()164CPA3341()164PA12、50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱的铆钉都用在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？解：方法一设一个部件轻度太弱为事件AP（A）=𝐶101𝐶473𝐶443𝐶413𝐶383𝐶353𝐶323𝐶293𝐶263𝐶233𝐶503𝐶473𝐶443𝐶413𝐶383𝐶353𝐶323𝐶293𝐶263𝐶233=11960方法二将部件自1到10编号。E：随机地取铆钉，使各部件都装3只铆钉。以𝐴𝑖表示事件“第i号部件强度太弱”P（𝐴𝑖）=𝐶33𝐶503=119600，i=1,2，…，10已知𝐴1，𝐴2，…𝐴10两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为P=P{𝐴1∪𝐴2∪…∪𝐴10}=P（𝐴1）+P（𝐴2）+…+P（𝐴10）=1019600=1196013、一俱乐部有五名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）设所求事件为A事件P(A)=𝐶51𝐶21𝐶31𝐶21𝐶124=4/33（2）设所求事件为B事件，B事件包括一二三四年级中有一个年级有两人入选，其余年级一人入选的四种情况。P(B)=𝐶52𝐶21𝐶31𝐶21𝐶125+𝐶51𝐶22𝐶31𝐶21𝐶125+𝐶51𝐶21𝐶32𝐶21𝐶125+𝐶51𝐶21𝐶31𝐶22𝐶1