同济版线性代数笔记

第一章行列式二阶行列式：如下所示1112112212212122aaaaaaaa=−（1）数ija称为行列式的元素或元，其第一个下标i称为行标；第二个下标j称为列标；位于第i行第j列的元素称为行列式的(,)ij元。例：求解二元线性方程组1212321221xxxx−=⎧⎫⎨⎬+=⎩⎭解：12321223127,14,21211121DDD−−======−得111427DxD===，223DxD==−三阶行列式：如下所示111213212223112233122331132132112332313233122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠−−（2）排列（全排列）：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。例如n=3，则这3个元素的排列的种数为123,132,213,231,321,312，共六种，即种数为33216P=××=种。对于n个元素，则其排列的种数为(1)321!nPnnn=×−××=LL逆序数：对于n个不同的元素，先假设各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），很显然，n个不同的元素排列顺序肯定不止一种，当这些元素的排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它有一个逆序。排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。不失一般性，设n个元素为1至n这n个自然数，规定由小到大为标准次序，设12npppL为这n个自然数的一个排列，考虑元素ip，如果比ip大的且排在ip前面的元素有it个，就说ip这个元素的逆序数是it（因为按照标准排序从小到大，即在ip之前本该没有数大于ip，但现在有it个，所以说有it个元素相对于ip与标准顺序不同，即有it个逆序数），如果每个元素都有相应的逆序数（如果没有的话，则其逆序数为零），则全体元素的逆序数之总和为121nniittttt==+++=∑L，例如排列32514的逆序数为0+1+0+3+1=5个n阶行列式：我们观察三阶行列式可以发现，其等号右边的每一项都是三个元素的乘积，且这三个元素都位于不同的行、不同的列，因而等号右边任一项除正负号以外可以写成123123pppaaa。这里的第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成123ppp，它是1,2,3三个数的某个排列，共3!6=种，对应三阶行列式等号右边的6项。而这六项前面有的是正号有的是负号，这和123ppp的逆序数有关，如果逆序数为偶数则为正，逆序数为奇数则为负，设t为列标排列的逆序数，则正负号表示为(1)t−。依次类推，对于n阶行列式，共有2n个数，排成n行n列，其计算如下1211121212221212(1)nnntppnpnnnnaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑LLLMMML（3）其中的12npppL为自然数1,2,,nL的一个排列，t为这个排列的逆序数。上式共有n!项。行列式简记作det()ija。特殊行列式：（1）对角阵，如下所示11(1)2221212;(1)nnnnnnrrrrrrrrrrrr−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠LLON（2）三角形行列式：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式。它的值与对角行列式一样。对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种手续叫做对换。将相邻两个元素对换叫做相邻对换。对换具有如下性质：（1）一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。因而奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。（标准排列逆序数为0）。（2）因为行列式的结果有行和列两个序列组成，所以每次对换后，其行与列的逆序数都会变化，经验证，两者的逆序数变化之和为偶数，即不改变行列式奇偶性，因而结果的正负号也不改变，因而整个行列式也不改变。即行列式可以表示成如下两种方式'12121112121222121212(1)(1)nnnnttppnppppnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑LLLLMMML上式中的t是列标排列的逆序数；t'是行标排列的逆序数。转置行列式：D的转置行列式记作DT，如下所示111211121121222122221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa=⇒=LLLLMMMMMML行列式性质：行列式具有如下的一些性质：（1）行列式与它的转置行列式相等。（2）互换行列式的两行（列），行列式变号（因为只对换了行或列，互换一次是奇数次）。（3）如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。（5）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。（6）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。（7）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则行列式可以写成相应的两个行列式之和，例如第i列的元素都是两数之和，则有''1112111111211111211''2122222122222212222''121212()()()iininininiininnnninnnnnininnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaa++==++LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMMMMMLLLLLL（8）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。如下所示111111111112122221222211()()()ijnijjnijnijjnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaa++=+LLLLLLLLLLLLMMMMMMMMLLLLLL例：计算行列式3112513420111533D−−−=−−−解1221411312131215340846;502110211513301627ccrrrr−−−−−−↔⇒−−+⇒−−−−−−2332424313121312131202110211021154;8400081008460081045016270010150002rrrrrrrr−−−−−−↔⇒+−⇒+⇒=−−−−−−例：一种特殊行列式关系如下所示，如果有以下的行列式11111111111211111111110,det(),det()kknkkkijijknkkknnnnnknnnaaaabaaaDDaDbccbbaabbccbb=====LMMLLLMMMMLLLLMMMMLL则12DDD=例：特殊2n阶行列式2()nnababDadbccdcd==−ONNO余子式：在n阶行列式中，把（i，j）元ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做（i，j）元ija的余子式，记作ijM；另外有(1)ijijijAM+=−叫做（i，j）元ija的代数余子式。关于余子式引出的定理有（1）一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元ija外都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA=。（2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即1122(1,2,,)iiiiininDaAaAaAin=+++=LL或1122(1,2,,)jjjjnjnjDaAaAaAjn=+++=LL（3）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,()ijijinjnaAaAaAij+++=≠L或11220,()ijijninjaAaAaAij+++=≠L由上面的定理2和定理3总结出代数余子式的重要性质如下：1,0,nkikjijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑或1,0,nikjkijkDijaADijδ==⎧⎫==⎨⎬≠⎩⎭∑其中1,0,ijijijδ=⎧⎫=⎨⎬≠⎩⎭例：331343311251115115134111312;(1)11112011001055015335530Dcccc+−−−−−−=−+⇒=−−−−−−−−−−132151162620(1)4055550rr+−+⇒−=−=−−−−范德蒙德行列式：如下所示1221321111112111()()()()nnnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxxxxx−≥≥≥−−−==−−−=−∏LLLMMML范德蒙德行列式的证明这里就不作细述，值得注意的是，计算n阶行列式，常要使用数学归纳法。数学归纳法的主要步骤是：导出递推公式及检验n=1时结论成立。克拉默法则：含有n个未知数12,,,nxxxL的n个线性方程的方程组如下11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb+++=⎧⎫⎪⎪+++=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=⎩⎭LLLLLLL（4）如果上面的线性方程组的系数行列式不等于零，即11110nnnnaaDaa=≠LMML那么方程组（4）有唯一解1212,,,nnDDDxxxDDD===L，其中(1,2,)jDjn=L是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的n阶行列式，即111,111,111,1,1jjnjnnjnnjnnaabaaDaabaa−+−+=LLMMMMMLL关于克拉默法则具有以下的一些定理：（1）如果线性方程组（4）的系数行列式0D≠，则方程组（4）一定有解，且解是唯一的；反过来也成立。（2）如果线性方程组（4）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。（3）齐次线性方程组：如果方程组（4）右边的常数项12,,,nbbbL全为零时，则称线性方程组（4）为齐次线性方程组；如果12,,,nbbbL不全为零时，则称其为非齐次线性方程组。对于齐次线性方程组，120nxxx====L一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的零解；如果存在一组不全为零的数是齐次线性方程组的解，则称它为齐次线性方程组的非零解；齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。（5）如果齐次线性方程组的系数行列式0D≠，则齐次线性方程组没有非零解。因为由上面的第一条克拉默定理知道，当0D≠时，线性方程组的解是唯一的，而120nxxx====L必是齐次线性方程组的解，因而不存在其他的解了，包括非零解。（6）如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。第二章矩阵及其运算2,1矩阵：由mn×个数ija（1,2,,;1,2,,imjn==LL）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn×矩阵。其外面总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，如下111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠LLMMML元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵（注意，与行列式的区别，行列式是一个数）。n阶矩阵A也记作An.只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量；只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。两个矩阵的行数与列数都相同时，称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O。2.2，线性变换：n个变量12,,,nxxxL与m个变量12,,,myyyL之间的关系式11111221221122221122nnnnmmmmmnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax=+++⎧⎫⎪⎪=+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=+++⎩⎭LLLLLLL上面方程组表示一个从变量12,,,nxxxL到变量12,,,myyyL的线性变换。上面方程组的系数所构成的矩阵称为系数矩阵。2.3，单位矩阵：如下的线性变换对应的系数矩阵就是单位矩阵1122nnyxyxyx=⎧⎫⎪⎪=⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪=⎩⎭LLLL111OEO⎛⎞⎜⎟⎜⎟⇒⇒⇒=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O系数矩阵2.4，对角矩阵：如下的线性变换对应的系数