同济第七版高等数学总复习

1一阶微分方程第七章复习《高等数学》（下）总2dxxfdyyg)()(形如1可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(分离变量法)(xyfdxdy形如2齐次方程xyu令dxxuufdu1)(3)(yxgdydx对称情况yxv令ydyvvgdv通解4)()(xQyxPdxdy3一阶线性微分方程])([)()(CdxexQeydxxPdxxP).()(yQxyPdydx对称情况])([)()(CdyeyQexdyyPdyyP5高阶微分方程1、可降阶的高阶微分方程的解法型)()1()(xfyn接连积分n次，得通解．.y不显含未知函数),()2(yxfy型代入原方程,得)).(,(xPxfP),(xPy令,Py6.x不显含自变量),()3(yyfy型代入原方程,得).,(PyfdydpP),(xPy令,dydpPy72、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次线性方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy定理1：如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy定理2设*y是)2(的一个特解,Y是与(2)对应的特解,那么2211yCyCy就是方程(1)的通解.的齐次方程(1)的通解,那么*yYy是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.8定理3设非齐次方程(2)的右端)(xf是几个函解的叠加原理.代入即可证得数之和,如)()()()(21xfxfyxQyxPy而*1y与*2y分别是方程,的特解,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy那么*2*1yy就是原方程的特解.902qprr0qyypy特征根的情况通解的表达式实根21rr实根21rr复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx特征方程为3、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程1001)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为0111nnnnPrPrPr推广：阶常系数齐次线性方程解法n特征方程的根通解中的对应项rk重实根若有rxkkexCxCC)(1110ik复根重共轭若有xkkkkexxDxDDxxCxCC]sin)(cos)[(11101110114、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程型)()()1(xPexfmx解法待定系数法.,)(xQexymxk设是重根是单根不是根2,10k)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm))((mkQxxQ12型]sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx],sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk设次多项式，是其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max.1;0是特征方程的单根时不是特征方程的根时iik13向量的分解式：(,,)xyzaaaa.,,,,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,,1、向量的坐标表示法（一）向量代数第八章空间解析几何与向量代数14向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,,xyzaaaa（）,,xyzbbbb（）,,xxyyzzabababab（）,,xxyyzzabababab（）,,xyzaaaa（）kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(15222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式222coscoscos11621221221221zzyyxxMM它们距离为设),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间两点两点间距离公式:172、数量积cos||||baba其中为a与b的夹角(点积、内积)zzyyxxbabababa数量积的坐标表达式ba00xxyyzzabababab222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式183、向量积sin||||||bac其中为a与b的夹角c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.(叉积、外积)向量积的坐标表达式zyxzyxbbbaaakjiba19方程特点:00),(:zyxfL设有平面曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线xL)1(0),(22zyxf方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线yL)2(0),(22yzxf1.旋转曲面（二）空间解析几何20122222czyax122222czayx12222czax旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面21xyz抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面oyzx22椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面ozyx23（2）圆锥面222zyx（1）球面（3）旋转双曲面1222222czayax1222zyx2202020)()()(Rzzyyxx242.柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.25从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面母线//轴x12222byax双曲柱面母线//轴zpxz22抛物柱面母线//轴y26抛物柱面xyzxyz椭圆柱面pxz22双曲柱面xyz12222czby12222byax273.二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面1222222czbyaxzqypx2222（2）椭圆抛物面)(同号与qp28特殊地：当时，方程变为qpzpypx2222旋转抛物面)0(p（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）xozpzx2229zqypx2222（3）马鞍面)(同号与qp（4）单叶双曲面1222222czbyax（5）圆锥面222zyx304.空间曲线0),,(0),,(zyxGzyxF[1]空间曲线的一般方程)()()(tzztyytxx[2]空间曲线的参数方程31CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy0),,(0),,(:zyxGzyxFC设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：0),(yxH所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：00),(zyxH[3]空间曲线在坐标面上的投影325.平面},,{CBAn),,(0000zyxMxyzon0MM[1]平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA[2]平面的一般方程0DCzByAx1czbyax[3]平面的截距式方程xyzoabc330:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA[4]平面的夹角222222212121212121||cosCBACBACCBBAA[5]两平面位置特征：21)1(021212121CCBBAAnn21)2(//11n22n.21212121CCBBAAnn重合346.空间直线0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA00:22221111DzCyBxADzCyBxAL[1]空间直线的一般方程xyzo12L35xyzosL0MM[3]空间直线的参数方程pzznyymxx000[2]空间直线的对称式方程ptzzntyymtxx000),,(0000zyxM},,{pnms36直线:1L111111pzznyymxx直线:2L222222pzznyymxx12121212222222111222||cos(,)mmnnppssmnpmnp^两直线的夹角公式[4]两直线的夹角37[5]两直线的位置关系：21)1(LL021212121ppnnmmss21)2(LL//pzznyymxxL000:0:DCzByAx[6]直线与平面的夹角21212121ppnnmmss//38222222||sinpnmCBACpBnAm直线与平面的夹角公式)20([7]直线与平面的位置关系L)1(pCnBmAnsL)2(//0CpBnAmnsL或39例7设),,(0000zyxP是平面ByAx0DCz外一点，求0P到平面的距离.1PNn0P000222||.AxByCzDdABC[8]点到平面距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式:),(000yxP点0CByAx直线2200||BACByAxd406.平面束定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束.设平面,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA:,21为所确定的平面束的方程由0)()(2221111DzCyBxADzCyBxA.0:22222DzCyBxA以上方程不包括平面41定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为1、偏导数概念第九章多元函数微分法及其应用42同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.43ddd.zzzxyxy2、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法000000[(,)(,)]()xyzfxyxfxyy可微000000[(,)(,)]()xyzfxyxfxyy不可微44多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导有极限3、关系45((),())zftt4、多元复合函数求导法则定理1若函数(,)zfuv在点处偏导连续,在点t可导,ddddddzzuzvtutvt