数学物理方法姚端正CH1作业解答

1数学物理方法CH1作业题解答P6习题1.11.用复变量表示：（1）上半平面；（2）左半平面解：（1）上半平面为：0Imz（2）左半平面为0Rez4.求下列复数的实部、虚部、模与辐角主值（3）3)3(-+i解：先将iz+=3记为指数形式，iz+=3=)26(2ppkie+则ieeezikiki81818122)62()26(333-====-+-+---ppppp其实部为0，虚部为81-，模为81，辐角主值为2p-6.计算下列数值：（2）5)3(i-解：先将iz-=3记为指数形式，iz-=3=)26(2ppkie+-，则)3(16)]65sin()65[cos(323232265)1065()26(555iieeezikiki+-=-+-====-+-+-ppppppp7.求解方程(1)013=-z解：13=z，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=+-======ieieeeeziikiki23212321113432032323pppp分别对应⎪⎩⎪⎨⎧===210kkk8.设流体在点iz21+=的流速为iiv-+=23，求其大小和方向.解：即求其模及辐角主值：2iiiiiiv+=+=++=-+=15555)2)(3(23，其模为2，其辐角主值为4argp=vP9习题1.22.画出下列关系所表示的z点的轨迹的图形并确定它是不是区域。（1）1Imz且2||z如图示阴影部分，不含边界线。满足区域的两个条件：（1）全由内点组成；（2）点集中任意两点可用全在点集中的折线连接；所以是区域。P15习题1.32.讨论下列函数的可微性和解析性（1）2zw=解：记iyxz+=，),(),(yxivyxuw+=；则xyiyxzw2)(222+-==w的实部22yxu-=，虚部xyv2=xxu2=∂∂，yyu2-=∂∂，yxv2=∂∂，xyv2=∂∂可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，且满足C-R条件，所以，2zw=在复平面可微，从而在复平面是解析的。（2）zzwRe=解：记iyxz+=，),(),(yxivyxuw+=；则ixyxzzw+==2Rew的实部2xu=，虚部xyv=3xxu2=∂∂，0=∂∂yu，yxv=∂∂，xyv=∂∂可见，w的实部和虚部有连续的一阶偏微商，但仅在0=z点满足C-R条件，所以，它仅在0=z点是可微的，但是在0=z点并不解析（因为在0=z点的邻域并不满足C-R条件）；并且在全平面均是不解析的。3.已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。（1）xyyxu+-=22，iif+-=1)(解：采用不定积分法：)(ygdxxvv+∂∂=∫①而由C-R条件，xyyuxv-=∂∂-=∂∂2②所以)(212)()2(2ygxxyygdxxyv+-=+-=∫③再将v对y求偏导：一方面，由C-R条件，yxxuyv+=∂∂=∂∂2，④另一方面，由③式得：dydgxyv+=∂∂2⑤由④⑤两式得ydydg=所以cyg+=221所以cyxxyv++-=2221212⑥再由已知iif+-=1)(，即当1,0==yx时，1=v，代入⑥式得21=c所以，212121222++-=yxxyv⑦则=)(zfixyyx++-22)2121212(22++-yxxyizi21)211(2+-=⑧（2）yxu)1(2-=，if-=)2(4解：采用不定积分法：)(ygdxxvv+∂∂=∫①而由C-R条件，22+-=∂∂-=∂∂xyuxv②所以)(2)()22(2ygxxygdxxv+-=+-=∫③再将v对y求偏导：一方面，由C-R条件，yxuyv2=∂∂=∂∂，④另一方面，由③式得：dydgyv=∂∂⑤由④⑤两式得ydydg2=所以cyg+=2所以cyxxv++-=222⑥再由已知if-=)2(，即当0,2==yx时，1-=v，代入⑥式得1-=c所以，1222-+-=yxxv⑦则=)(zfiyx+-)1(2)12(22-+-yxx2)1(zi--=⑧P22习题1.46.（2）解方程：31iez+=解：先将ze写成指数的形式：)23(2ppkizee+=则)23(2ln2ln]2[)23()23(ppppppkiLneeLnzkiki++=+==++...)2,1,0(±±=k7．判断下列函数是单值的还是多值的，若是多值的，是几值？其支点是什么？（1）1-+zz（6）zzcos5解：（1）因为z是单值函数，而1-z是2值的，支点是1，∞所以，函数1++zz是2值的，支点是1，∞（6）22arg||pkziezz+=，记它的两个单值分支为⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+12arg)2arg(22arg1||||||wezezwezwzizizip则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--==11112211)cos()cos(coscoscos所以，zzcos是2值的函数，支点与z的支点相同，是0和∞.8.设3zw=确定在沿负实轴割破了的z平面上，并且iiw-=)(，求)(iw-.解：根据已知，可设定pp≤-zarg32arg33||pkziezzw+==)2,1,0(=k，是3值函数，它的三个单值分支为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+==≤+==≤==++353)4(arg,||33)2(arg,||33-3arg,||333)4(arg33223)2(arg32113arg31pfppfpfppfpfpfpp，其变化范围为其辐角记为，其变化范围为其辐角记为，其变化范围为其辐角记为zezwzezwzezwzizizi已知iiw-=)(，即iz=时，)22(ppkieiw+-=-=，w的幅角为ppk22+-，其中只有辐角23p在上述1w，2w，2w限定的范围内，它是在分支3)4(arg33||p+=ziezw的辐角范围内，所以，我们应在分支3w中求解)(iw-.当iz-=时，2argp-=z，这时，=-)(3iw)2123()6sin6(cos6673)4(argiieeeiizi+-=+-=-==+ppppp610.（4）计算：)1(iLn+解：)24(2ln]2[)1()24(ppppkieLniLnki++==++...)2,1,0(±±=k