17.4.二次三项式的因式分解--求根公式法

知识回顾我们学过哪几种因式分解的方法？请完成以下因式的分解：20(0)axbxca方程的求根公式是xx622162x962xx232xx242bbacxa)(042acb说出一元二次方程的求根公式因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.1、提公因式法2、公式法平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)差-完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)23.十字相乘法abxbax)(2(x+a)(x+b)4.分组分解法口诀首先提取公因式，两项式平方差三项式完全平方,十字相乘四项式分组分解:有三个平方的项，3，1分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因五项式3，2分组，完十六项式，有三项为二次式，两项一次式，一项常数项，3。2。1分组，构成二次三项式有4个平方的项，3。3分组，完完差其它3。3或2。2。2分组提公因式注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打开中括号自动变小括号口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方不能分解连乘式.233∵)32)(32(3)2(34222xxxx∴解:342x思路启迪：利用可以把任何一个非负数或非负式子写成完全平方形式．02aaa练一练:把下列各式分解因式:(1)x2–2221222xxx解：（）原式103)2(2a22103)2(）（）（原式a)103)(103(aa把下列各式分解因式；9)3(4a96)4(24aa2223)3(）（原式a22)3()4(a原式)3)(3(22aa)3)(3)(3(2aaa22)3()3(aa（默1）2)1(2xx2(2)32xx-+-以上四个式子有什么共同点？未知数x的最高次数是2次，并且有一次项和常数项，共有三项。2(4)322xx--2(3)441xx++)0(2acbxax我们把叫做关于x的二次三项式答案：(1)原式=(x+1)(x-2)(2)原式=-(x-1)(x-2)(4)？？？？2)1(2xx2(2)32xx-+-2(4)22xx--将下列二次三项式因式分解2(3)441xx++(3)原式=(2x+1)2十字相乘法十字相乘法公式法二次三项式ax2+bx+c（a≠0)的因式分解269__________xx++=分解因式2690xx++=的解是________2760xx-+=的解是________276_________xx-+=分解因式241290_______________xx-+=的解是24129________xx-+=分解因式23740___________xx++=的解是2374_______________xx++=分解因式123xx==-2(3)x+121,6xx==(1)(6)xx--1232xx==2(23)x-234()2x=-124,13xx=-=-(34)(1)xx++43()(1)3xx=++二次三项式ax2+bx+c（a≠0)的因式分解ax2+bx+c=0(a≠0)的解是分解因式ax2+bx+c（a≠0)＝12xx、12()()axxxx--（默2）以上的结论怎样证明？证明：设一元二次方程aacbbxaacbbxxxacbxax24,24)0(02221212则，的两根是])([21212xxxxxxa那么写出代数式12()()axxxx--12()()axxxx--二次三项式ax2+bx+c（a≠0)的因式分解=上面等式，从右到左就是把ax2+bx+c分解因式.简单应用例：已知一元二次方程的两个根是，于是可以把二次三项式分解因式，得04222xx2,121xx)2)(1(24222xxxx4222xx思考：对任意一个二次三项式，都能在实数范围内分解因式吗？例如：4322xxcbxax2所以在实数范围内不能分解因式。4322xx思考：对任意一个二次三项式，都能在实数范围内分解因式吗？例如：4322xxcbxax204322xx事实上，方程的判别式01342432△=方程没有实数根一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).:把下列各式分解因式(13)(13)xx=-+--∴222xx--222xx--解：解方程，2220xx--=2412bac-=1213,13xx=-=+原方程的实数根是二次三项式ax2+bx+c（a≠0)因式分解在有理数范围内不能分解时求根公式法3123222122xxx)31()31(xx0（默3）∴例把8652xx分解因式1014610196652)8(54662x2,5421xx原方程的实数根)2)(54(58652xxxx)2)(45(xx此步的目的是去掉括号内的分母解：解方程，08652xx019642acb1014610146xx或254xx或5822xx把分解因式解:解方程05822xx0245248422acb2644)64(246284248x264264xx或原方程的实数根是2641x2642x∴)264)(264(25822xxxx这里系数2无法全部化去两个因式里的分母，因此保持原来的形式（默4）∴(1)解:解方程01842xx0801448422acb2528)52(485488808x252252xx或原方程的实数根是2521x2522x（默5）(2)解:解方程01322xx0171243422acb6173x61736173xx或原方程的实数根是61731x61732x(3)解:解方程03362xx075364)3(422acb1235312753x12353x12353x或2333xx或原方程的实数根是331x232x用求根公式分解二次三项式)0(2acbxax其程序是固定的，即：（1）第一步：解方程02cbxax（2）第二步：求出方程①的两个根;,21xx①；（3）因式分解))((212xxxxacbxax（默6）二次三项式的因式分解常见方法通常有：十字相乘法公式法(完全平方公式)求根公式法△≥0且是一个完全平方数（式）△＝0△≥0△＜0不能分解△＞0且不是完全平方式时，适合用求根公式法二次三项式在实数范围内1)能分解△≥０2)不能分解△＜０3)能分解成相同的两个因式△＝０在有理数范围内因式分解在实数范围内因式分解（默6）口诀首先提取公因式，两项式平方差三项式完全平方,十字相乘四项式分组分解:有三个平方的项，3，1分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因五项式3，2分组，完十六项式，有三项为二次式，两项一次式，一项常数项，3。2。1分组，构成二次三项式有4个平方的项，3。3分组，完完差其它3。3或2。2。2分组提公因式注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打开中括号自动变小括号口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方不能分解连乘式.求根公式法例把分解因式22243yxyxy422y将本题看作是关于x的二次三项式，所以应把y看作常数二次项系数:3一次项系数:常数项解:024322yxyxx方程解关于的040234)4(42222yyyacbyyyyyyx31026)102(26102464042yxyx31023102或yx31021yx3102222243yxyxyxyx310231023不要漏了y（默7）原方程的实数根是∴22243yxyx将本题看作是关于y的二次三项式，所以应把x看作常数22342xxyy解:034222xxyyy的方程解关于040324)4(42222xxxacbxxxxxxy21024)102(24102444042xyxy21022102或xy21021xy2102222342xxyyxyxy210221022不要漏了x034222xxyy∴原方程的实数根是在实数范围内分解因式2234xxyy+-)372)(3723yxyx（22522mmnn+-111111()()55mnmn-+++当m为何值时，二次三项式2x2+6x–m（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成两个相同的因式5（默8）B组（1）在实数范围内分解因式为2243yxyx2.选择题若5)12(22kxkx是关于x的完全平方式，则K的值为（）419、A419、B2、C2、D)372)(3723yxyx（B破题思路由△=0194)5(14)]12([22kkk419k因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.1、提公因式法2、公式法平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)差-完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)23.十字相乘法abxbax)(2(x+a)(x+b)4.分组分解法5.求根公式法口诀首先提取公因式，两项式平方差三项式完全平方,十字相乘四项式分组分解:有三个平方的项，3，1分组；先完再差其余二、二分组，最后要提大公因五项式3，2分组，完十六项式，有三项为二次式，两项一次式，一项常数项，3。2。1分组，构成二次三项式有4个平方的项，3。3分组，完完差其它3。3或2。2。2分组提公因式注：最后只能有小括号；如有中括号，小括号计算打开中括号自动变小括号口诀要每个小括号念最后能写乘方要写乘方在实数范围内分解不能分解连乘式.求根公式法小结1.对于不易用以前学过的方法：cbxax2))(()(2bxaxabxbax分解二次三项式宜用一元二次方程的求根公式分解因式。用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o),的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).△＜0不能分解△＞0且不是完全平方式时，适合用求根公式法十字相乘法公式法（完全平方公式）求根公式法△≥0且是一个完全平方数（式）△＝0△≥0２．常见方法在有理数范围内因式分解在实数范围内因式分解注意：1.因式分解是恒等变形，所以公式))((212xxxxacbxax中的因式千万不能忽略。2.在分解二次三项式cbxax2的因式时，可先用求根公式求出方程02cbxax的两个根x1,x2然后,写成))((212xxxxacbxaxa1.对于不易用以前学过的方法：cbxax2))(()(2bxaxabxbax分解二次三项式宜用一元二次方程的求根公式分解因式。2.当因式；在实数范围内可以分解时，cbxaxacb2204因式；在实数范围内不能分解时，〈cbxaxacb2204当(例如：分解因式2322xx在实数范围内不能分解)用求根公式分解二次三项式)0(2acbxax其程序是固定的，即：（1）第一步：解方程02c