中级质量专业理论与实务 第五讲常用分布

1第五讲常用分布一、考试要求1.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算。2.了解超几何分布。3.掌握正态分布的定义及其均值、方差和标准差，标准正态分布的分位数。4.熟悉标准正态表的用法二、内容讲解四、常用分布(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1．二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:(1)重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。(2)n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。(3)每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。(4)每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:4)-(1.2,,1,0,)1()(nxppxnxXPxnx这个分布称为二项分布，记为),(pnb，其中xn是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：)!(!!xnxnxn二项分布的均值、方差与标准差分别为：)1()()1()()(pnpXpnpXVarnpXE特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：1,0,)1()(1xppxXPxx或列表如下：X01P1-pp它的均值、方差与标准差分别为)1()(,)1()(,)(ppXppXVarpXE[例1.2-10]在—个制造过程中，不合格品率为O.1，如今从成品中随机取出6个，2记X为6个成品中的不合格品数，则X服从二项分布)1.0,6(b，简记为)1.0,6(~bX。现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件X=1的概率为：3543.09.01.06)1.01(1.016)1(516XP这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543。类似可计算X=0，X=1，…，X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X0123456P0.53140.35430.09840.01460.00120.00010.0000这里0.0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为P(X=6)=0.000001，并不严格为零。还可以画出一张线条图(图1.2—7(a))来表示这个分布(X共有7个取值)。图上的横坐标为X的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币，其中正面出现次数)5.0,6(~bX。通过计算可画出其线条图(见图1．2—7(b))，此图是对称的，如P(X=2)=P(X=4)=0.2343。(2)不超过1个不合格品的概率为：P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.5314+0.3543=O.8857这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857。在实际中经常需要求形如“xX”的概率，在概率论中把事件“xX”的概率称为X的分布函数，也称为累积分布函数，记为F(X)，即：)()(xXPxF对二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表1—1，此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得：P(X≤1)=0.8857，P(X≤4)=0.9999于是可算得：P(1X≤4)=P(X≤4)-P(X≤1)=0.9999-0.8857=0.1142(3)二项分布)1.0,6(b的均值、方差与标准差分别为：6.01.06)(npXE54.09.01.06)1()(pnpXVar373.054.0)1()(pnpX2．泊松分布泊松分布可用来描述许多随机变量的概率分布。例如:(1)在一定时间内，电话总站接错电话的次数；(2)在一定时间内，某操作系统发生的故障数；(3)一个铸件上的缺陷数；(4)一平方米玻璃上的气泡个数；(5)一件产品因擦伤留下的痕迹个数；(6)一页书上的错字个数。从这些例子可以看出，泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的，若表示某特定单位内的平均点数(0)，又令X表示某特定单位内出现的点数，则X取x值的概率为：)52.1(,2,1,0,!)(xexxXPx这个分布就称为泊松分布，记为P()，其中e为自然对数的底，即2.71828…泊松分布的均值与方差(在数量上)是相等的，均为，即：E(X)=，Var(X)=，)(X(1.2-6)[例1.2—11]某大公司一个月内发生的重大事故数X是服从泊松分布的随机变量，根据过去事故的记录，该大公司在一个月内平均发生1.2起重大事故，这表明：X服从=1.2的泊松分布，现考察如下事件的概率：(1)在一个月内发生1起重大事故的概率为：362.0!12.1)1(2.1eXP类似地也可计算X取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：此例中，X理论上也可以取8，9，…等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个概率画一张线条图，如图1.2—8。(2)在一个月内发生重大事故超过2起的概率为：4121.0)216.0362.0301.0(1)]2()1()0([1)7()6()5()4()3()2(XPXPXPXPXPXPXPXPXP这表明，该公司在一个月内发生重大事故超过2起的概率为O.121。(3)泊松分布P(1.2)的均值、方差与标准差分别为：1.12.1)(,2.1)()(XXVarXE3．超几何分布从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。设有N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量，假如n≤M，则X可能取0，1，…，n；若nM，则X可能取0，l，…，M，由古典方法(参见例1．1—4)可以求得xX的概率是：7)-(1.2,2,1,0,)(rxnNxnMNxMxXP其中r=min(n,M)，这个分布称为超几何分布，记为h(n，N,M)。超几何分布h(n，N,M)的均值与方差分别为：8)2.1(11)()(,)(NMNMNnNnXVarNnMXE[例1.2-12]，略，参见教材36页。(二)正态分布正态分布是在质量管理中最重要也最常使用的分布，它能描述很多质量特性X随机取值的统计规律性。1．正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数有如下形式：5)92.1(,21)(222)(xexpx它的图形是对称的钟形曲线，称为正态曲线。见图1.2—10。正态分布含有两个参数与，常记为),(2N。其中为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性X在附近取值的机会最大，)(xp关于x对称。2是正态分布的方差，0是正态分布的标准差，愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中；p(x)在处有拐点(2阶导数为零)。同定标准差时，不同的均值，比如21，对应的正态曲线的形状完全相同，仅位置不同，见图1.2-1l(a)。固定均值时，不同的标准差，如21。，对应的正态曲线的位置相同，但形状(高低与胖瘦)不同，见图1.2—1l(b)。2．标准正态分布0且=l的正态分布称为标准正态分布，记为N(0，1)。它是特殊的正态分布，服从标准正态分布的随机变量记为U，它的概率密度函数记为)(u，它的图形见图1.2-12。实际中很少有一个质量特性(随机变量)的均值恰好为0，方差与标准差恰好为1。但一些质量特性的不合格品率均要通过标准正态分布才能算得。这里将先介绍标准正态分布表及其应用，分以下几点叙述。6图1.2-12标准正态分布的概率密度函数)(u的图形(1)标准正态分布函数)(u表，用来计算形如“uU”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数)()(uUPu。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1—2)上查得，例如事件“U≤1.52“的概率可从附表1—2上查得P(U≤1.52)=(1.52)=0.9357它表示标准正态随机变量U取值不超过1.52的概率，在数量上它恰好为1.52左侧的一块阴影面积(见图1.2-13)。由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故：P(U≤1.52)=P(U1.52)=(1.52)=0.9357综合上述，可得如下计算公式：P(U≤a)=P(Ua)=(a)类似的计算公式还有一些，现罗列如下，图形可帮助我们理解它。(2)P(Ua)=l-(a)，(见图1.2—14)。(3)(-a)=l-(a)(见图1.2-15)。(4)P(a≤U≤b)=(b)-(a)(见图1.2—16)。7(5)1)(2)(aaUP(见图1．2—17)。3．标准正态分布N(O，1)的分位数分位数是一个基本概念，这里结合标准正态分布N(0，1)来叙述分位数概念。对概率等式P(U≤1.282)=0.9，有两种不同说法：(1)0.9是随机变量U不超过1.282的概率。(2)1.282是标准正态分布N(0，1)的0.9分位数，也称为9%分位数或90百分位数，记为9.0u。后一种说法有新意，O.9分位数9.0u。，把标准正态分布密度函数)(u下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为O.9，右侧一块面积恰好为O.1，见图1.2-18。一般说来，对介于0与1之间的任意实数，标准正态分布N(O，1)的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为l—(详见图1.2-19)。用概率的语言表示，U(或它的分布)的分位数u是满足下面等式的实数：P(U≤u)=分位数u亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到，比如0.958的分位数95.0u可先查得：65.1,64.19505.09495.0uu由于概率0.95恰好介于0.9495与0.9505中问，故645.195.0u。0.5分位数，即50％分位数，也称为中位数，在标准正态分布N(O，1)场合，05.0u。当O．5时，比如=0.25，由对称性可知675.0,75.075.025.0uuu，对它加上负号即得675.025.0u，类似地有282.19.01.0uu(见图1.2—20)。标准正态分布的分位数u亦可从附表1—3直接查得。4．有关正态分布的计算现在转入正态分布的计算。正态分布计算基于下面的重要性质。性质1：设X～N(2,)，则)1,0(~NXU。此性质表明，任一个正态随机变量X(服从正态分布的随机变量)经过标准化变换(X-)／后都归一到标准正态变量U。这里标准化变换是指正态变量减去其均值后再除以相应的标准差。比如：若x～N(10，22)，通过标准化变换210XU～N(0，1)；若Y～N(2，23.0)，通过标准化变换3.02YU～N(0，1)；两个正态变量及其标准化变换后的分布的示意图见图1.2—21。9性质2：设),(~2NX，则对任意实数ba,有：（1）bbXP)(（2）aaXP1)(（3）abbXaP)(其中)(为标准正态(累积)分布函数，其函数值可从附表1—2中查得。[例1.2-13]设X～N(10，22)和Y～N(2，23.0)，概率P(8X14)和P(1.7Y2.6)各