西南交通大学矩阵分析概考点总结

有理数：Q实数：R复数：C数域：复数的一个非空集合P含有非零的数，且任意两数的加减乘除仍属于该集合，则称数集P为一个数域。（所有数域都包含0，1）向量空间：设V是向量的集合，P是一个数域，若满足：1.∀α，β∈V，有α+β=β+α；2.∀α，β，γ∈V，有(α+β)+γ=α+（β+γ）；3.∃一个零元素∈V，记作0⃗，对任意α∈V，都有α+0⃗=α；4.∀α∈V，∃β∈V，st，α+β=0，元素β称为α的负元素；5.∀α∈V，都有1α=α；6.∀α∈V，𝑘,𝑙∈P，𝑘(𝑙α)=(𝑘𝑙)α；7.∀α∈V，𝑘,𝑙∈P，(𝑘+𝑙)α=𝑘α+𝑙α；8.∀𝑘∈P，α，β∈V，𝑘(α+β)=𝑘α+𝑘β；则称集合V为数域P上的线性空间，或向量空间。满足加法A+B=C,C是V中唯一的，符合满足乘法kA=C,C是V中唯一的，符合P是实数域，V就是实线性空间P是负数域，V就是复线性空间基：V是数域P上的线性空间，若V中存在一组向量，满足：1.向量组线性无关；2.V中任意一个向量都可由这个向量组线性表示；则称该向量组为构成V的一个基。若V的一个基中向量个数为n，称n为V的维数，记为dimV=n;坐标：𝑘1,𝑘2,𝑘3……𝑘𝑛，称为向量α在基α1,α2,α3……α𝑛下的坐标。取定一组基后，每个向量α在这个基下的坐标是唯一确定的，α的第i个坐标也称之为第i个分量。子空间：设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对于线性空间V所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域P上的线性空间，则称W为V的线性子空间，简称子空间。充要条件是：1.若α，β∈W，则α+β∈W;2.α∈W，𝑘α∈P，则𝑘α∈W；也就是说W关于V中定义的两个运算是封闭的。线性变换：数域P上的线性空间V的一个变换T满足：1.T(α+β)=T(α)+T(β)；2.T(𝑘α)=𝑘T(α)；内积空间：设V是实数域R上的线性空间，如果对V中任意两个向量α，β都有一个实数(记为（α，β）)与它们相对应，并且满足以下条件：1.(α，β)=(β，α)；2.(𝑘α，β)=𝑘(α，β);3.(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);4.(α，α)≥0,当且仅当α=0⃗，等号成立；则线性空间V称为实内积空间，简称内积空间，且实数（α，β）成为向量（α，β）的内积。又被称为欧式空间（Euclid）内积空间具有以下性质：1(α，𝑘β)=𝑘(α，β);.2.(α,β+γ)=(α,β)+(α,γ);3.(α,0⃗)=(0⃗,β)=0;4.(α,β)2≤(α,α)(β,β);等号当且仅当α，β线性相关时成立向量长度（模）（范数）：设∀α∈V，则非负实数√(α,α)称为α的长度，并记为|α|即定义长度为：|α|=√(α,α)；若|α|=1，则称α为单位向量，对于任意非零向量α，取β=α|α|则β是与α线性相关的单位向量，这种做法称为向量的单位化。(C.-S.)不等式又可以表示为:|(α,β)|≤|α||β|复内积空间：设V是复域C上的线性空间，如果对V中任意两个向量α，β都有一个复数(记为（α，β）)与它们相对应，并且满足以下条件：1.(α，β)=（β，α̅̅̅̅̅̅̅）；2.(𝑘α，β)=𝑘(α，β)；3.(α+β，γ)=(α,γ)+(β,γ)；4.(α，α)≥0,当且仅当α=0⃗，等号成立；则线性空间V称为复内积空间，或酉空间。酉空间具有以下性质：1.(α，𝑘β)=𝑘̅(α，β)，2.(α,β+γ)=(α,β)+(α,γ);3.(α,0⃗)=(0⃗,β)=0;酉变换：若T是酉空间V的线性变换，且对任何α，β∈V都有：(𝑇α，𝑇β)=(α，β)；则称T为V的酉变换，即酉空间的酉变换，是保持任两向量内积不变的线性变换。酉矩阵：若A∈𝐶𝑛×𝑛，且𝐴𝐻𝐴=𝐴𝐴𝐻=𝐸，则A称为酉矩阵，这里𝐴𝐻是𝐴的共轭转置。当A为实矩阵时，酉矩阵A也就是正交矩阵。第三章A的特征多项式：1212()+nnnnfEAaaa11=;niiiaatrA在这里：(1)nnaA在这里：最大公因式：()(),()()dfdg，且没有更大的公因式()=(),()dfg（）：表示首项系数为1的最大公因式。有以下性质：（1）(),fc（）=0（2）(),0()ff（）=若：(),()fg（）=1，则称两个多项式互素/互质。求解约当标准型：方法一：(1)求出()A中所有非零的k级子式，最高项系数为1的最大公因式，记为k级行列式因子：12(),(),,()nDDD(2)1()kD能整除每个k1级子式，从而可以整除每个k级子式，因此1()kD能整除()kD，即是说1()()kkDD；求()A的不变因子：12(),(),,()nddd；211211()()()(),(),,()()()nnnDDdDddDD(3)求()A的初级因子。把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次方幂。所有初级因子的乘积得到n阶行列式：12()()()()nnADddd(4)写出约当块。每个初级因子()iki构成一个ik阶的约当块。方法二（只适用于四阶及以下矩阵）：(1)求出特征多项式：1212()()()()knnnkfEA；(2)求出对应i的约当块个数，并求出m:()inREAm；(3)写出约当块。单个特征值就是一个约当块，重根根据(2)来判断个数。()()nAdm可以对角化没有重根没有重根也就是初级因子全为一次求1PAPJ中的P：1123123123(,,),,(,,)PXXXPAPJAXAXAXXXXJ，则有（）=写成三个方程，并求出基础解系。方法三：(1)写出EA,(2)根据初等变换，求出史密斯标准型，从而求出不变因子。哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式：1212()+nnnnfEAaaa每个n阶矩阵A都是它的特征多项式的根：1212+0nnnnAaAaAaE零化多项式：()是一个多项式，A是一个方阵，如果有()0A，则称()最小多项式：A是一个方阵，则A的首项系数为1的次数最小的零花多项式()m，(1)是唯一的，(2)其根是A特征值，反之亦然。(3)最小多项式是其不变因子()nd矩阵A的任何零化多项式都被其最小多项式所整除。史密斯标准型：（求解时，行列都可以变）（唯一）1()0()()()00rdAJd这里1r是()A的秩，()id是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,31)iiddir()()AJ所以，这俩拥有相同的秩及相同的行列式因子12(),(),,()nDDD舒尔定理：若nnA，则存在酉矩阵U，使得：TUAUT这里的T为上三角矩阵，其主对角线上的元素都是A的特征值。QR分解：若nnA为n阶负数矩阵，则存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得：AQR奇异值分解定理：没看到第四章向量的长度：=（，）若V是实内积空间(酉空间)，α，β∈𝑉为任意向量，k为实数域R（复数域C）中任一元素，则V中向量的长度具有下列三个基本性质：(1)当α≠0时，都有0；(2)kk；(3)向量范数的定义：设V是数域P上的线性空间，若对于V中任一向量α，都有一非负实数与之对应，并且满足下列三个条件：(1)正定性：当α≠0时，都有0；(2)齐次性，对于任何𝑘∈𝑷：kk；(3)三角不等式：则称非负实数为向量α的范数。11221111,;,();,();,max;nniinniinpnpipiniin范数等价：对于任何有限维向量空间V上定义的任意两个向量范数a和b，都存在两个与α无关的正常数12,CC，使得对V中任一向量α，都有：12,abbaCC两个不等式的两个向量范数称为等价的。在有限维向量空间上的不同范数都是等价的。矩阵范数的定义：在nnP上定义一个非负实值函数A，如果对于任意的,nnABP都满足下列四个条件：(1)正定性：0,0AA当时(2)齐次性：对于任何k∈P，kAkA(3)三角不等式:ABAB(4)ABAB则称非负实数A为方阵nn的范数。1122,11,max();,();,();,max();HHnnnijijninnHAAAAnnnHijFijnnnijiinjAPAaAPAAAAPAatrAAAPAa列模和最大者是的最大特征值行模和最大者范数等价：nnP上任意两个方阵aA和bA都是等价的，使得：12,abbaACAACA范数相容：对于任何nnAP和nP，满足：aaAA则称方阵范数A与向量范数是相容的。nnP上的每一个方阵范数，在nP上都存在与它相容的向量范数。FA与2是相容的向量的极限：如果向量序列：()()()12(,,)(0,1,2)mmmmnnxxxCm，如果存在极限：()lim(1,2,)miimxxin则称酉空间nC的向量序列()m收敛于向量12(,,)nxxx记为：()limmm或者()m也就是：()()()limlim()lim()0mmmmmm(对任意范数都成立)谱半径：1()maxiinA矩阵函数：2302121350222401111!2!3!!11sin(1)(1)(21)!3!5!(21)!11cos(1)1(1)(2)!2!4!(2)!mnxnmmnnmnmmnnmnmxexxxxmnxxxxxxmnxxxxxmn求矩阵函数：方法一：写出通式并计算（笨方法）方法二：(1)求出A的最小多项式：1212()()()()snnns这里每个特征值都是不同的特征值，其中12snnnm(2)写出所求函数式：(),()XXXXfXXXXfA(3)写出降阶后的多项式：210121()()()()()mmfqrraaaa(4)求出各项系数：2101212121()(,1,2,,)()2(1)miiimimiimifaaaaiisfaama(求导的是复数根才可以)(5)将各系数带入函数：210121()()()()()mmfAAqArArAaEaAaAaA(6)求出矩阵函数。求带参数的方式一样，无非是将0121,,,,maaaa写成0121(),(),(),,()matatatat第四章()22()()22()()22HHijnnHHijijijnnijHHijijijnnijAAAAAaaaBBBbbaaCCCc（）厄米特矩阵（c）反厄米特矩阵若nnAC的特征值的集合为12,,,n（所有特征值），则有22111nnniijiija（当且仅当A为正规矩阵时成立）1,1,1,1,max;Re()max;Im()max;(1)Im()max()2iijijniijijniijijniijijnnanbncnncAn当为阶实矩阵。原盘定理：=()nnijAaC，则A的全部特征值都在复数平面上的n个圆盘(盖尔圆)内:(1,2,,)iiizaRin(i的话直接就是1)123(1)(1)iiiiiiiiinRaaaaaa图示，盖尔圆