4-4--狭义相对论动力学基础

上页下页返回退出上页下页返回退出通过前面的讨论，我们知道在不同惯性系内，时空坐标遵守洛伦兹变换关系，所以要求物理规律符合相对性原理，也就是要求它们在洛伦兹变换下保持不变.牛顿运动方程对伽利略是不变式，对洛伦兹变换不是不变式.那么牛顿力学里一系列物理概念，在相对论中都面临着重新定义的问题。如何定义？重新定义物理量的原则：（1）首先受到对应原则的限制，即当速度远远小于光速时，新定义的物理量必须趋于经典物理中对应的量。（2）尽量保持基本守恒定律成立。（3）还有逻辑上的自洽性。§4-4狭义相对论动力学基础上页下页返回退出上页下页返回退出在经典力学中质量是不变的，和物体的运动无关，在相对论中质量是否也是不变的呢？上页下页返回退出上页下页返回退出运动时,物体的质量m不再是常量,由于空间各向同性,设质量只依赖于速度v的大小而与它的方向无关，即1.相对论质量下面考察一个例子—两个全同粒子A、B的完全非弹性碰撞。m=m(v)—mo称静止质量。M(u)AmBm碰撞前碰撞后当v/c→0时,m→经典力学中的质量mo,A、B两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。一、相对论力学的基本方程上页下页返回退出上页下页返回退出(v)Avm0KABAm0m(v)-v我们分别以A、B两个粒子为惯性参照系来讨论。KB系中,B粒子静止,A粒子速率为v,A粒子质量为mA=m(v);B粒子质量为mB=moKA系中,A粒子静止,B粒子速率为v,A粒子质量为mA=mo;B粒子质量为mB=m(v)上页下页返回退出上页下页返回退出(u)KBM(u)-uKA设碰撞后复合粒子在KB系的速度为u,质量为M(u);设碰撞后复合粒子在KA系的速度为u’,由于对称性可以看出u’=-u,故复合粒子的质量仍为M(u)。上页下页返回退出上页下页返回退出根据动量守恒和质量守恒定律可以得到根据洛伦兹速度变换公式可得相对论质速关系()()(1)mvvMuu()()(2)omvmMu0()()()()mvmMumvmv01()mmv(3)vu2'(4)1/uvuuuvc2211/(5)vvcu022()1/mmvvc上页下页返回退出上页下页返回退出——物体的静止质量。m(v)——相对于观察者以速度v运动时的质量。相对论质量022()1mmvvcm00.20.41.000.60.8()mvvc上页下页返回退出上页下页返回退出上式给出了一个物体的相对论质量和它的速率的关系。注意：这一速率v是小球相对于某一参考系中观察者的速率。同一个小球相对于不同的参考系如有不同的速率时，在这些参考系中测得的这一个小球的质量也是不同的。上页下页返回退出上页下页返回退出在微观粒子的实验中，粒子的速率会达到接近光速的程度，这时质量随速率的改变就很明显了。例如v=0.98c时，此时电子的质量是0503m.m这时质量的变化就不能忽略当vc时，m约等于m0.这时可以认为物体的质量与速率无关，等于其静止质量。这就是牛顿力学讨论的情况，也就是说牛顿力学的结论是相对论力学在速度非常小时的近似。上页下页返回退出上页下页返回退出0221pmvP相对论质量：cvmm2201m0——静止质量vpcvm22010vc1mmvc0221m0m2.相对论动量在相对论中我们仍定义,一个质点的动量p是一个与它的速度v同方向的矢量上页下页返回退出上页下页返回退出说明：b.当时，即不论对物体加多大的力，也不可能再使它的速度增加。cvmc.当时，必须即以光速运动的物体是没有静止质量的。vc00md.相对论力学基本方程vmpFvtcvm)(2201dd上式方程满足相对性原理amF0a.在时，。0mmvc在的条件下：vc上页下页返回退出上页下页返回退出相对论力学的基本方程(1)当vc时,m=mo，f=ma(2)当v→c时,m→∞，ddddddddpmvvmfmvttttddvatdd0mfvtm说明：上页下页返回退出上页下页返回退出推导：推导的基本出发是动能定理令质点从静止开始,力所做的功就是动能表达式rFAddrtPddd1.相对论动能Pd)(ddmm12dddmmrF2201cmm由2202222cmmcm222mcmmddd有两边微分，得mcrFdd2二、相对论质量和能量的关系上页下页返回退出上页下页返回退出mmLKmcrFE02dd202cmmcEKmcrFdd2由动能定理静止能量运动能量242224002231(1)(11)281kvvmcmcEccvc上式表明：质点以速率运动时所具有的能量，与质点静止时所具有的能量之差，等于质点相对论性的动能v2mccm20在的条件下：vcvmEk2021由二项式定理展开上页下页返回退出上页下页返回退出cmEmck202mcE22.相对论总能量质能关系总能量动能量静能量由相对论的质能关系式.由此推断:ΔE=c2Δm质量的变化必然有相应的能量变化相伴随核能(俗称原子能)的利用：在原子核反应过程中,有显著的质量变化Δm，因而伴随发生十分可观的能量变化。上页下页返回退出上页下页返回退出cmEmck202mcE2相对论总能量说明：a.物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当可观的静止能量。b.相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且还是总能量的量度。c.如果一系统的质量发生变化，能量必有相应的变化。d.对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质量也守恒。上页下页返回退出上页下页返回退出相对论质能关系在军事上的应用：核武器上页下页返回退出上页下页返回退出在相对论中：0221/mvpvc220221/mcEmcvc三、相对论动量和能量的关系上页下页返回退出上页下页返回退出()()cmvcmcm由以上两式消去可得：v22202CPEE动量与能量的关系E0Epcm0=0=c222EP=cEP，...对于光子：E=hυ,其静止质量为零=hυc=hλ上页下页返回退出上页下页返回退出ddpFtddmmavt202cmmcEK2mcE420222cmcpE质量动量基本方程静能动能总能（质能关系）动量与能量的关系2201cvmm200cmE0mvmp0ddpFt00ddvmmat2021vmEKKEmp022上页下页返回退出上页下页返回退出设一质子以速度运动.求其总能量、动能和动量.c80.0v解质子的静能MeV938200cmEMeV1563MeV)8.01(938121222202ccmmcEvMeV62520kcmEE119220smkg1068.61cmmpvvv上页下页返回退出上页下页返回退出原子核的结合能。已知质子和中子的质量分别为:1.000728,1.000866Pnmumu两个质子和两个中子组成一氦核，实验测得它的质量为mA=4.000150u，试计算形成一个氦核时放出的能量。(1u=1.66010-27kg)He24而从实验测得氦核质量mA小于质子和中子的总质量m，这差额称m=m-mA为原子核的质量亏损。对于核He24270.030380.030381.66010kgAmmmu224.003188Pnmmmu解:两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为上页下页返回退出上页下页返回退出根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量之间有一定的关系，当系统质量改变m时，一定有相应的能量改变2Emc＝2278110.030381.66010310J=0.453910JE由此可知，当质子和中子组成原子核时，将有大量的能量放出，该能量就是原子核的结合能.所以形成一个氦核时所放出的能量为结合成1mol氦核时所放出的能量为2311126.022100.453910J=2.73310JE这差不多相当于燃烧100t煤时所发生的热量.上页下页返回退出上页下页返回退出的粒子，以大小相同、方向相反的速度相撞，反应合成一个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量和一定速度。220212cmMcMVvmvm00－0MM式中M和V分别是复合粒子的质量和速度。显然V=0，这样解：设两个粒子的速率都是v，由动量守恒和能量守恒定律得上页下页返回退出上页下页返回退出，两者的差值00002222221kmEMmmc--式中Ek为两粒子碰撞前的动能。由此可见，与动能相应的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子的静止质量增大了。20012mM而上页下页返回退出上页下页返回退出()1mmvvc202cmmcEK上页下页返回退出上页下页返回退出204mc4上页下页返回退出上页下页返回退出物体相对于甲静止：甲测得物体的总能量就是静止能量200EEmc物体相对于乙运动：乙测得物体的总能量为运动时的能量2Emc20210.8/mccc21.6c