2018数一真题解析与答案

12018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。1、下列函数中，在0x处不可导的是（）（A）()||sin||fxxx（B）()||sin||fxxx（C）()cos||fxx（D）()cos||fxx【答案】：（D）【分析】因为对选项（A），2200000()(0)||sin||||limlimlimlimlim0(0)xxxxxfxfxxxxxfxxxx对选项（B），0000||sin||||||()(0)||limlimlimlim||0(0)xxxxxxxxfxfxxfxxxx（无穷小乘以有界量）对选项（C），200001||()(0)cos||112limlimlimlim0(0)2xxxxxfxfxxfxxx对选项（D），200001||cos||1()(0)1||2limlimlimlim2xxxxxxfxfxxxxx不存在因此选择（D）2、过点(1,0,0)与(0,1,0)，且与22zxy相切的平面方程为（）（A）0z与1xyz（B）0z与222xyz（C）yx与1xyz（D）yx与222xyz【答案】：（B）【分析】设切点坐标为(,,)xyz，则法向量为{2,2,1}xy，故切平面的方程为2()2()()0xXxyYyZz，因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故法向量与向量{1,1,0}垂直，因此有220xy，即yx…………………………………………①将yx带入22zxy中，有22zx…………………………………………………②将点(1,0,0)带入平面方程有222220xxyz……………………………………③2由①②③可得0,0,0xyz或者1,1,2xyz带回2()2()()0xXxyYyZz中，可确定平面方程为0Z或者222XYZ。因此选择（B）3、023(1)(21)!nnnn（）（A）sin1cos1（B）2sin1cos1（C）3sin1cos1（D）3sin12cos1【答案】：（B）【分析】0023212(1)(1)(21)!(21)!nnnnnnnn00211(1)2(1)(21)!(21)!nnnnnnn0011(1)2(1)(2)!(21)!nnnnnncos12sin1因此选择（B）4、设2222(1)1xMdxx，221xxNdxe，22(1cos)Kxdx，则（）（A）MNK（B）MKN（C）KMN（D）KNM【答案】：（C）【分析】22222222222222(1)1211111xxxxMdxdxdxdxxxx对于221xxNdxe，因为1xex，所以11xxe，故NM对于22(1cos)Kxdx，因为1cos1x，故KM因此KMN因此选择（C）5、下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为（）3（A）111011001（B）101011001（C）111010001（D）101010001【答案】：（A）【分析】对于110011001，3()0EA对于（A）：3()0EA；对于（B）：2()0EA对于（C）：2()0EA；对于（D）：2()0EA（若两矩阵相似，要求它们的最小多项式相同）因此选择（A）6、设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，()XY表示分块矩阵，则（）（A）()()rAABrA（B）()()rABArA（C）()max{(),()}rABrArB（D）()()TTrABrAB【答案】：（A）【分析】因为AB的每一列可以由A的列向量组线性表出，因此()()rAABrA因此选择（A）7、设()fx为某分布的概率密度函数，(1)(1)fxfx，20()0.6fxdx，则{0}PX（）（A）0.2（B）0.3（C）0.4（D）0.6【答案】：（A）【分析】因为(1)(1)fxfx，所以说明()fx以1x为对称轴，因此1{1}2PX，又因为20()0.6fxdx，故由对称性可知{01}0.3PX，故{0}{1}{01}0.50.30.2PXPXPX因此选择（A）8、给定总体2~(,)XN，2已知，给定样本12,,,nXXX，对总体均值进行检验，4令0010:,:HH，则（）（A）若显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01时也拒绝0H（B）若显著性水平0.05时接受0H，则0.01时拒绝0H（C）若显著性水平0.05时拒绝0H，则0.01时接受0H（D）若显著性水平0.05时接受0H，则0.01时也接受0H【答案】：（D）【分析】因为显著性水平0.05的拒绝域为00.025Xun，而显著性水平0.01的拒绝域为00.005Xun，而00.005Xun是00.025Xun的子区间，因此要是落在拒绝域00.005Xun中，就一定会落在拒绝域00.025Xun中，也就是说在显著性水平0.01时拒绝0H，则在0.05时也拒绝0H，反之，在显著性水平0.05时接受0H，则在0.01时也接受0H因此选择（D）二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。9、已知1sin01tanlim1tankxxxex，则k。【答案】：2【分析】0111tanlim1sinsin1tan01tanlim1tanxxkxkxxxxex011tan1tanlim1tanxxxkxxe012tan2lim1tanxxkxxkeee所以2k因此填写210、设曲线()yfx的图像过点(0,0)，且与曲线2xy相切于(1,2)，则10()xfxdx。【答案】：2ln225【分析】由已知可得(0)0f，(1)2f，(1)2ln2f111000()()()xfxdxxfxfxdx(1)((1)(0))2ln22fff因此填写2ln2211、设向量场(,,)Fxyzxyiyzjxzk，则(1,1,0)|rotF。【答案】：ik或者{1,0,1}【分析】(1,1,0)(1,1,0)(1,1,0)|()ijkrotFyizjxkikxyzxyyzxz因此填写ik或者{1,0,1}12、曲线S是曲面2221xyz与平面0xyz的交线，则Sxyds。【答案】：13【分析】由于积分曲线对,,xyz具有轮换性，因此SSSxydsyzdszxds又因为22221()()2SSxyyzzxdsxyzxyzds11111222SSdsds乘以曲线的长度因为两者交线为球的大圆，因此1()22Sxyyzzxds因此所求13Sxyds因此填写1313、设二阶方阵A有两个不同特征值，二维列向量1和2是A的线性无关的特征向量，且21212()()A，则||A。【答案】：1【分析】由于21212()()A，因此说明1为2A的特征值，因此若A的特征值为，则有21，因此A的特征值为1和1，故||1A6因此填写114、设随机事件,AB相互独立，,AC相互独立，且BC，已知1()()2PAPB，1(|)4PACABC，则()PC。【答案】：14【分析】(())(|)()PACABCPACABCPABC(()())()PACABACCPABC()()PABCACPABC()()()()PACPABPCPABC1()1214()4PCPC解之可得1()4PC因此填写14三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（本题满分10分）求不定积分2arctan1xxeedx。【分析与解答】本题是不定积分的计算题，用换元法和分部积分法来求解令1xet，则21xet，2xedxtdt则原不定积分2arctan1xxeedx2222222222233222(1)arctan111(1)arctan(1)22111(1)arctan122111(1)arctan[]223111arctan1[1(1)]223xxxxtttdttttdtttttdtttttCeeeeC16、（本题满分10分）将长为2米的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【分析与解答】本题是条件下球最值的问题，需要自己建立目标函数以及条件函数7设圆的面积为21Sx，对应的周长为2x设正方形的面积为22Sy，对应的周长为4y设三角形的面积为2334Sz，对应的周长为3z则目标函数为22212334SSSSxyz，条件函数为2432xyz，令2223(2432)4Lxyzxyz则220240330224320xyzLxLyLzxyz解之可得1433x，2433y，23433z此时1433S17、（本题满分10分）设有空间曲面22:133xyz，其方向与x轴的正方向的夹角为锐角，求33()xdydzyzdxdzzdxdy【分析与解答】本题是第二类曲面积分的计算问题，通过补面利用高斯公式求解，在三重积分部分需要采用的是柱面坐标求解。补面1220:13xyz，方向向后，如图所示。则33()xdydzyzdxdzzdxdy113333()()xdydzyzdxdzzdxdyxdydzyzdxdzzdxdy22(133)yzdxdydz2321323000(13)rddrrrdx1445818、（本题满分10分）设一阶常微分方程()yyfx（1）当()fxx时，求该微分方程的通解；（2）当()fx为周期函数时，证明该微分方程有通解与其对应，并且该通解也为周期函数。【分析与解答】本题是一阶线性微分方程的求解问题，以及函数的周期性的证明。（1）解方程yyx，则()(1)1xxxxxyxexedxCexeCxCe（2）已知()()fxTfx，T为周期则()yyfx的通解为0()()xxxyxefxedxC则0()()xTxTxyxTefxedxC0000()()()()()(())xTxxTTxxuTTxxuuTuTTTefxedxCeefuTeduCexTuefuedufueduCefueduCe令这里也是一个常数所以()yxT也原方程的解。19、（本题满分10分）设数列{}nx满足：10x，11nnxxnxe