大学机械专业控制工程时域响应

控制工程基础(第三章)第三章时域瞬态响应分析3.1时域响应及典型输入信号3.2一阶系统的瞬态响应3.3二阶系统的瞬态响应3.4时域分析性能指标3.5高阶系统的瞬态响应3.6机电系统时域瞬态响应的实验方法3.1时域响应及典型输入信号瞬态响应：系统在某一输入的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态。瞬态响应也称为过渡过程。典型输入信号:Stepfunction1.阶跃函数：数学表达式：示意图：当时，称为单位阶跃信号。1a=()()i0()00atxtt⎧⎪=⎨⎪⎩典型输入信号:Rampfunction2.斜坡函数：数学表达式：示意图：()()i0()00attxtt⎧⎪=⎨⎪⎩当时，称为单位斜坡信号。1a=典型输入信号:Parabolicfunction3.加速度函数：数学表达式：示意图：()()2i0()00attxtt⎧⎪=⎨⎪⎩当时，称为单位加速度信号。12a=()()0000i0lim0()00tatttxtttt→⎧⎪=⎨⎪⎩或典型输入信号:Impulsefunction4.脉冲函数：数学表达式：示意图：Impulsefunction脉冲函数可以表示成上图所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a。因此，通常脉冲强度是以其面积a衡量的。当面积时，称为单位脉冲函数，又称δ函数。1a=[()]1Ltδ=δ函数有个很重要的性质，其拉氏变换等于1。当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称为脉冲响应函数。由于δ函数的拉氏变换等于1，因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。ImpulseResponsefunction当系统输入任一时间函数时，如下图所示，可将输入信号分割为n个脉冲。当时，输入函数可看成n个脉冲叠加而成。n→∞()xt设系统脉冲响应函数为。()gt输出响应为输出响应为输入输入函数与函数与脉冲响应脉冲响应函数的函数的卷积卷积，，脉冲响应脉冲响应函数由此又得名函数由此又得名权函数权函数。。()()()()()00limnkknktytxgtxgtdττττττ→∞==−Δ=−∑∫所以所以按比例和时间平移的方法，可得时刻的响应为。kτ()()kkxgtτττ−⋅ΔImpulseResponsefunction典型输入信号:Sinefunction5.正弦函数：数学表达式：示意图：()()⎩⎨⎧=000sin)(tttatxiω3.1节小结选择哪种函数作为典型输入信号，应视不同系统的具体工作情况而定。时域响应及典型输入信号：1.瞬态响应及稳态响应的概念2.典型输入信号阶跃函数斜坡函数加速度函数脉冲函数正弦函数3.2一阶系统的瞬态响应一阶系统：能够用一阶微分方程描述的系统。它的典型形式是一阶惯性环节。()()oi11XsXsTs=+3.2.1一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入()i()1xtt=象函数为()i1Xss=则()()()()ooiiXsXsXsXs=⋅进行拉氏反变换()1o()11tTxtet−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠11111111TTTsssTsss=⋅=−=−+++3.2.1一阶系统的单位阶跃响应()1o()11tTxtet−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠o0,()0txt==分析：o,()1txt→∞=1o,()10.632tTxte−==−=1o0110,()tTttxteTT−=′===一阶系统的单位阶跃响应曲线3.2.1一阶系统的单位阶跃响应特点：(1)稳定，无振荡；(2)经过时间T，曲线上升到稳态值的63.2%；(3)调整时间为(3～4)T；(4)在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T；(5)常数[]o1lglg1()etxtT⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。3.2.2一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入()i()1xttt=⋅象函数为()i21Xss=则()()()()ooii2211111TXsXsXsXsTTTsssss=⋅=⋅=−+++进行拉氏反变换()1o()1tTxttTTet−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠一阶系统的单位斜坡响应曲线3.2.3一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入()i()xttδ=象函数为()i1Xs=则()()()()ooii11111TTXsXsXsXsTss=⋅=⋅=++进行拉氏反变换()1o1()1tTxtetT−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠一阶系统的单位脉冲响应曲线()1o1()1tTxtetT−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3.2节小结一阶系统的瞬态响应：三者的关系？()()()oto1o1oδddd()dxtxttxtxtt==()()1ot()1TtxttTTet−=−+1.单位斜坡响应()()1o1()11Ttxtet−=−2.单位阶跃响应()()11oδ()1TtTxtet−=3.单位脉冲响应3.3二阶系统的瞬态响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它的典型形式是二阶振荡环节。为阻尼比；为无阻尼自振角频率nωζ2on22inn()()2XsXsssωζωω=++形式一：形式二：o22i()1()21XsXsTsTsζ=++n1Tω=为时间常数3.3.1二阶系统的单位阶跃响应单位阶跃输入()i()1xtt=象函数为()i1Xss=则()()()()ooii2n22nn12XsXsXsXssssωζωω=⋅=⋅++根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论。01ζ3.3.1二阶系统的单位阶跃响应1ζ=1ζ0ζ=0ζ负阻尼具有正实部零阻尼一对共轭虚根过阻尼两个负实根临界阻尼二重负实根欠阻尼一对共轭复根222nn1,2nn20,1sssζωωζωωζ++==−±−1.欠阻尼01ζ二阶系统的极点是一对共轭复根。()()2onindnd()()jjXsXsssωζωωζωω=+++−式中，2dn1ωωζ=−，称为阻尼自振角频率。()()()nno2222ndnd1sXssssζωζωζωωζωω+=−−++++进行拉氏反变换，得()nnodd2()1cos()sin()11ttxtetettζωζωζωωζ−−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟−⎝⎠()n2od21()1sinarctan11textttζωζωζζ−⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟=−+⋅⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠特点：1.以为角频率衰减振荡；2.随着的减小，振荡幅度加大。dωζ2.临界阻尼1ζ=二阶系统的极点是二重负实根。()2on2in()()XsXssωω=+进行拉氏反变换,得()()nnon()11ttxtteetωωω−−=−−()()no2nn11Xssssωωω=−−++特点：无超调。3.过阻尼1ζ二阶系统的极点是两个负实根。()()2on22innnn()()11XsXsssωζωωζζωωζ=++−+−−则()()()()()()ooii2n22nnnn222222nnnn111112(11)2(11)111XsXsXsXsssssssωζωωζζωωζζζζζζζζωωζζωωζ=⋅=⋅++−+−−−−−+−+−+=−−++−+−−特点：无超调，过渡时间长。进行拉氏反变换，得()()()()()22nn11o222211()11211211ttxteetζζωζζωζζζζζζ−−−−+−⎛⎞⎜⎟=−−⎜⎟−+−+−−−+⎜⎟⎝⎠特点：无阻尼等幅振荡。4.零阻尼0ζ=二阶系统的极点是一对共轭虚根。2on22in()()XsXssωω=+进行拉氏反变换,得()()on()1cos()1xtttω=−()o22n1sXsssω=−+5.负阻尼0ζ二阶系统的极点具有正实部。响应表达式的指数项变为正指数，随着时间，其输出，系统不稳定。()oxt→∞t→∞其响应曲线有两种形式：发散振荡单调发散3.3.2二阶系统的单位脉冲响应单位脉冲输入()i()xttδ=象函数为()i1Xs=则()()()()ooii2n22nn12XsXsXsXsssωζωω=⋅=⋅++分三种情况进行讨论。()()()()nd22no22ndndnd1jjXssssωωςωζωωζωωζωω−==+++−++1.欠阻尼01ζ二阶系统的极点是一对共轭复根。()()2onindnd()()jjXsXsssωζωωζωω=+++−式中，2dn1ωωζ=−进行拉氏反变换，得()nnod2()sin()11txtettζωωωζ−⎛⎞⎜⎟=⎜⎟−⎝⎠特点：1.以为角频率衰减振荡；2.随着的减小，振荡幅度加大。dωζ2.临界阻尼1ζ=二阶系统的极点是二重负实根。()2on2in()()XsXssωω=+进行拉氏反变换,得()()n2on()1txttetωω−=()()2no2nXssωω=+3.过阻尼1ζ()()()22nnoo111n2()d()d121ttxtxtteetζζωζζωωζ−−−−+−=⎛⎞⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠3.3.3二阶系统的单位斜坡响应单位斜坡输入()i()1xttt=⋅象函数为()i21Xss=则()()()()ooii2n222nn12XsXsXsXssssωζωω=⋅=⋅++分三种情况进行讨论。1.欠阻尼01ζ2.临界阻尼1ζ=3.过阻尼1ζ3.3节小结二阶系统的瞬态响应：1.单位脉冲响应2.单位阶跃响应3.单位斜坡响应欠阻尼临界阻尼过阻尼零阻尼负阻尼1ζ=01ζ0ζ=0ζ1ζ2on22inn()()2XsXsssωζωω=++3.4时域分析性能指标时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出的。1.上升时间(RiseTime)rtto()xt响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。或从稳态值的10%上升到稳态值的90％所需的时间。rtrt2.峰值时间(PeakTime)响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要的时间。ptto()xtpt3.最大超调量(MaximumOvershoot)响应曲线的最大峰值与稳态值1的差。pMto()xtpM4.调整时间(Settlingtime)响应曲线达到并一直保持在允许误差范围内的最短时间。stto()xtst允许误差±5％5.延迟时间(DelayedTime)dtto()xt响应曲线从零上升到稳态值的50%所需要的时间。dt6.振荡次数(OscillationNumber)在调整时间内响应曲线振荡的次数。stto()xtst允许误差±5％以欠阻尼二阶系统为例。时域性能指标的求取1,2ndjsζωω=−±该系统的极点是一对共轭复根。2dn1ωωζ=−21arctanζθζ−=rtor()1xt=由式(3.5)知，该系统的单位阶跃响应为()n2od21()1sinarctan11textttζωζωζζ−⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟=−+⋅⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠nr2dr2111sinarctan1tetζωζωζζ−⎛⎞−⎜⎟=−+⎜⎟−⎝⎠将代入，得1.求上升时间nr0teζω−≠()2r2dn111arctanarccos1tζππζωζωζ⎛⎞−⎜⎟=−=−⎜⎟−⎝⎠由于上升时间是输出响应由于上升时间是输出响应首次首次达到达到稳态值的时间，故稳态值的时间，故2dr1sinarctan0tζωζ⎛⎞−⎜⎟+=⎜⎟⎝⎠因为因为所以所以2dr1arctantζωπζ−+=峰值点为极值点，令，得()od0dxtt=()()npnpdndpdp22sincos011tteettζωζωωζωωθωθζζ−−+−+=−−pt2.求峰值时间()n2od21()1sinarctan11textttζωζωζζ−⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟=−+⋅⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠np0teζω−≠()ddpntantantωωθθζω+==dpp2dn1ttωπππωωζ===−因为因为所以所以n2nn22npop-1-22--1-1-()11-=1-sinarctan-11-==Mxteeeπζωωζπζπζωωζζζπζζ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠=−⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟⎝⎠pM将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得3.求最大超调量st4.求调整时间()n2od2