高中数学导数压轴题(一)

第1页（共47页）高中数学导数压轴题（一）CollectbyLX2017.02.261．已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．2．设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．3．已知函数f（x）=lnx+x2．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．4．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．5．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．6．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？第2页（共47页）7．已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．8．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．9．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．10．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．11．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．（Ⅰ）当a=﹣3时证明y=f（x）在区间（﹣1，1）上不是单调函数．（Ⅱ）设，是否存在实数a，对于任意的x1∈[﹣1，1]存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．12．设a为实数，函数f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，ex＞x2﹣2ax+1．13．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．14．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．第3页（共47页）（Ⅰ）当a=b=时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．．15．已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方．16．设f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．17．若f（x）=其中a∈R（1）当a=﹣2时，求函数y（x）在区间[e，e2]上的最大值；（2）当a＞0，时，若x∈[1，+∞），f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取极值，求t的取值范围；（Ⅱ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．19．已知函数f（x）=2lnx﹣x2．（Ⅰ）求函数y=f（x）在上的最大值．（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0＜x1＜x2．y=g′（x）是y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．求证：g′（px1+qx2）＜0．20．设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．（1）求a的值；（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的范围．（3）求证：．21．已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；第4页（共47页）（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．22．已知函数，（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）若p2﹣p≥0，且至少存在一点x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．23．已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．24．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828…（1）若函数φ（x）=f（x）﹣，求函数φ（x）的单调区间；（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0））处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．25．已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．26．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣处的切线的斜率为1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）设g（x）=b（ex﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．27．设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．28．已知函数f（x）=xe1﹣x，g（x）=（2﹣a）x﹣2lnx+a﹣2．（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若对于∀x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同实数xi（i=1，2），使得f（x0）=g（xi），求实数a的取值范围．29．已知函数．第5页（共47页）（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在区间[1，2]上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；（Ⅲ）若任意的x1，x2∈（1，2）且x1≠x2，证明：．（注：ln2≈0.693）30．已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．第6页（共47页）2017年02月26日LX的高中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•南京一模）已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=﹣bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）﹣g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f′（1）=g（﹣1）﹣2．求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2①求b的取值范围；②求证：＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．菁优网版权所有【专题】压轴题；函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（﹣1）﹣2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；（2）①将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，②结合①的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明．【解答】解：（1）由已知得f，（x＞0），所以，所以a=﹣2．由f′（1）=g（﹣1）﹣2，得a+1=b﹣2，所以b=1．所以h（x）=﹣x2+lnx+x，（x＞0）．则，（x＞0），由h′（x）＞0得0＜x＜1，h′（x）＜0得x＞1．所以h（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．（2）①由已知h（x）=lnx+bx，（x＞0）．所以h，（x＞0），当b≥0时，显然h′（x）＞0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当b＜0时，令h′（x）=0得x=＞0，令h′（x）＞0得；令h′（x）＜0第7页（共47页）得．所以h（x）极大=h（）=﹣ln（﹣b）﹣1＞0，解得．且x→0时，lnx＜0，x→+∞时，lnx＞0．所以当时，h（x）有两个零点．②证明：由题意得，即