排列与排列数公式

1.2.1排列（一）---排列与排列数公式分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.12nNmmm上午下午甲乙丙乙甲丙丙甲乙相应安排甲-丙甲-乙乙-甲乙-丙丙-甲丙-乙探究：问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法第二步：确定参加下午活动的同学，即从余下2名中任选1名，有2种方法根据分步计数原理：3×2=6即共6种方法.问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分步计数原理上午下午我们把每一个研究的对象叫做元素,于是问题１就是从3个不同的元素中，任取2个元素，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少个不同的排列个数的问题。叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ba,ac,ca,bc，cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432.１２３４３４２４２３２１３４３４１４１３３１２４２４１４１２４１２３２３１３１２百十个树形图问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？叙述为:从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.分步计数原理百位十位个位（种）24234N４种３种２种问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？实质是：从3个不同的元素中,任取2个,按一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？问题2从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？实质是：从4个不同的元素中,任取3个,按照一定的顺序排成一列,写出所有不同的排法.定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.基本概念一、排列概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.说明：两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.注:①从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）②按顺序排成一列例下列问题是排列问题吗？（1）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？（2）从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？（3）从1到10十个自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？（5）班级中选5个学生排队照相，则不同的站法有多少种？（从中归纳这几类问题的区别）不是排列不是排列是排列是排列是排列是排列二、排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做排列数，用符号表示.mnA注：排列与排列数是两个不同的概念，前者是指按照一定顺序排成的一列元素，后者是指所有排列的个数，它可以用排列数公式进行计算.23326A问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为,已经算得23A3443224A问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出34A３种２种４种３种２种合作交流互动探究问题３从n个不同元素中取出２个元素，排成一列，共有多少种排列方法？问题４从n个不同元素中取出３个元素，排成一列，共有多少种排列方法？n种(n-1)种n种(n-1)种(n-2)种合作交流互动探究2(1)nAnn3(1)(2)nAnnn问题5从n个不同元素中取出m个元素，排成一列，共有多少种排列方法？n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种……合作交流互动探究(1)(2)(1)mnAnnnnm(1)排列数公式一：)*,,)(1()2)(1(nmNnmmnnnnAmn当m＝n时，123)2)(1(nnnAnn正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示.!nn个不同元素的全排列公式：!nAnn(2)排列数公式二：)!(!mnnAmn说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明.为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定：1!02、对于这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件.nm316A66A46A例1.计算（1）（2）（3）3161615143360A666!720A466543360A解：（1）（2）（3）典例分析：例2某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.2141413182A(场)典例分析：例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3560A=(种)35125=(种)典例分析：1181798,___,___mnAnm、如果则255566869,()()()()nNnnnn、若则用排列数符号表示为__________332310,_____nnAAn、如果则755489,_____nnnAAnA、如果则18111569nA).1(8)2)(1(10)22)(12(2nnnnnnnn舍即).4(15,8929112nnnn舍解得化简得练习提高巩固成果(1)(1)!!(1)!!!nnnnnnn证明：(2!1!)(3!2!)(4!3!)(11!10!)原式11!1(2)(1)(2)(1)knAnnnnk(1)(2)[(1)(1)1]nnnnk11knnA)2()2(11mnnAAmnmn!.10102!211nnn-1n14！并求！！！求证：例(3)求证：mnmnmnAmAA11证明：左式=—————+m———————n！n！（n－m）！（n－m+1）！=————————————n！（n－m+1）+n！·m（n－m+1）！=—————n！（n+1）（n+1－m）！=——————（n+1）！（n+1-m）！1mnA＝右式∴等式成立.小结：【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定的顺序排成一列.【关键点】有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)【排列数】所有排列总数121mnAnnnnm()()...()mnn!A=(n-m)!