初中数学最值问题

-1-最值问题“最值”问题大都归于两类基本模型：Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。一、利用函数模型求最值例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。例2、如图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，设BE=x，△DEF的面积为S当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？二、利用几何模型求最值例3、如图所示，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝31，求△APB的面积的最大值？例4、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。ABCDEF-2-AOxyDCB三、归入“两点之间的连线中，线段最短”思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。口诀：和最小，找对称。例5、(1)如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.23B.26C.3D.6(2)如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为___________．例6、几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________．（2）如图2，O⊙的半径为2，点ABC、、在O⊙上，OAOB，60AOC°，P是OB上一动点，求PAPC的最小值___________．（3）如图3，45AOB°，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上的动点，求PQR△周长的最小值___________．例7、如图，锐角△ABC的边AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________．四、归于“三角形两边之差小于第三边”例8、如图（1），直线23xy与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D。（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。ABA′PlOABPRQ图3OABC图2ABECPD图1P-3-五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)1.如图，圆柱形的桶外，有一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________．2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是___________．3.如图是一块长、宽、高分别是4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是___________．4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）六、综合提高1.如图，（1），在△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a（0＜a＜2），请写出CQ+PQ最小值，并说明理由。2.如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区A、B，已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角∠AON=30°新开发区B到公路MN的距离BC=3千米。（1）求新开发区A到公路MN的距离，（2）现从MN上某点P处向新开发区A、B修两条公路PA、PB，使点P到新开发区A、B距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时PA+PB的值。ACBPQABCNOM-4-3.已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．