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海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)2019.1本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.双曲线22122xy的左焦点坐标为A.(2,0)B.(2,0)C.(1,0)D.(4,0)2.已知向量,ab满足=((t),,1)a2,0b,且aab,则,ab的夹角大小为A.6B.4C.3D.5123.已知等差数列{}na满足1=2a,公差0d,且125,,aaa成等比数列,则=dA.0B.12C.1D.224.直线+1ykx被圆222xy截得的弦长为2,则k的值为A.6B.4C.3D.5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为A.6B.7C.8D.126.已知函数()=lnafxxx,则“0a”是“函数()fx在区间(1,)上存在零点”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7.已知函数()sincosfxxx,()gx是()fx的导函数,则下列结论中错误的是A.函数()fx的值域与()gx的值域相同B.若0x是函数()fx的极值点,则0x是函数()gx的零点C.把函数()fx的图像向右平移2个单位,就可以得到函数()gx的图像D.函数()fx和()gx在区间(,4)4上都是增函数8.已知集合(,)150,150,,AststsNtN.若BA,且对任意的(,)abB,(,)xyB,均有()()0axby,则集合B中元素个数的最大值为A.25B.49C.75D.99二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.以抛物线24yx的焦点F为圆心,且与其准线相切的圆的方程为.10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M值为15,n值为4时,输出的S值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为,.12.设关于,xy的不等式组,4,2,yxxykx表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则k的最大值为.13.在ABC中,3ba,且cos2cosAB,则cosA.14.正方体1111ABCDABCD的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面1111ABCD上,且AP平面1MBD.(Ⅰ)当点M与点C重合时,线段AP的长度为;(Ⅱ)线段AP长度的最小值为.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数()s()cos22fxacoxx(Ⅰ)比较()6f和()2f的大小;(Ⅱ)求函数()fx在区间[,]22的最小值.16.(本小题满分13分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定85X为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(Ⅱ)从图中考核成绩满足[70,79]X的学生中任取3人,设Y表示这3人重成绩满足8510X的人数,求Y的分布列和数学期望;(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当85(1)0.510XP时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.17.(本小题满分14分)在四棱锥PABCD中,平面ABCD平面PCD,底面ABCD为梯形,//ABCD,ADPC且01,2,120ABADDCDPPDC(Ⅰ)求证:ADPDC平面;(Ⅱ)求二面角B-PD-C的余弦值;(Ⅲ)若M是棱PA的中点,求证:对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.18.(本小题满分14分)椭圆2212xy的左焦点为F,过点(2,0)M的直线l与椭圆交于不同两点A,B(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)若点B关于x轴的对称点为B’,求'AB的取值范围.19.(本小题满分14分)已知函数2()xaxfxe.(Ⅰ)当1a时,求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程;(Ⅱ)当0a时,求证:2()fxe对任意(0,)x成立.20.(本小题满分13分)设n为不小于3的正整数,集合12(,,...)0,1,1,2,...,nnixxxxin,对于集合n中的任意元素12(,,...,)nxxx,12(,,...,)nyyy记11112222()()...()nnnnxyxyxyxyxyxy(Ⅰ)当3n时,若(1,1,0),请写出满足3的所有元素(Ⅱ)设n,且+n,求的最大值和最小值;(Ⅲ)设S是n的子集,且满足:对于S中的任意两个不同元素,,有1n成立,求集合S中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学(理科)2019.01一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.22(1)4xy10.2411.232,12.013.3214.622,三、解答题:本大题共6小题,共80分.15.解:(Ⅰ)因为π1(),622afπ()12fa所以ππ13()()(1)()262222aaffa因为0a,所以3022a,所以ππ()()26ff(Ⅱ)因为()sincos2fxaxx2sin(12sin)axx22sinsin1xax设sin,txππ[,]22x,所以[1,1]t所以221ytat其对称轴为4at当14at,即4a时,在1t时函数取得最小值1a当14at,即04a时,在4at时函数取得最小值218a16.解:(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀所以所求概率()PA约为730(Ⅱ)Y的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X的学生共有8人,其中满足|75|10X的学生有5人所以33381(0)56CPYC,21353815(1)56CCPYC12353830(2)56CCPYC,353810(3)56CPYC随机变量Y的分布列为Y0123P156155630561056115301015()0123565656568EY(Ⅲ)根据表格中的数据,满足85110X的成绩有16个所以8516810.5103015XP所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17.解:(Ⅰ)在平面PCD中过点D作DHDC,交PC于H因为平面ABCD平面PCDDH平面PCD平面ABCDI平面PCDCD所以DH平面ABCD因为AD平面ABCD所以DHAD又ADPC,且PCDHHI所以AD平面PCD(Ⅱ)因为AD平面PCD,所以ADCD又DHCD,DHAD以D为原点,DADCDH,,所在直线分别为,,xyz轴,建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)DAPCB000200013020210,因为AD平面PCD,所以取平面PCD的法向量为(,,)DA200uuur设平面PBD的法向量为(,,)nxyzr因为(,,),(,,)DPDB013210uuuruuur,所以nDPnDB00ruuurruuur所以yzxy3020令2z,则23,3yx,所以(,,)n3232r所以cos,||||ADnADnADn235719219uuurruuurruuuurr由题知BPDC为锐角,所以BPDC的余弦值为5719(Ⅲ)法一:假设棱BC上存在点F,使得MFPC,显然F与点C不同所以,,,PMFC四点共面于所以FC,PM所以BFC,APM所以就是点,,ABC确定的平面,所以P这与PABCD为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证法二:假设棱BC上存在点F,使得MFPC连接AC,取其中点N在PAC中,因为,MN分别为,PACA的中点,所以MNPC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MF与MN重合所以点F在线段AC上,所以F是AC,BC的交点C,即MF就是MC而MC与PC相交,矛盾,所以假设错误,问题得证法三:假设棱BC上存在点F,使得MFPC,设BFBC,所以33(1,,)(2,1,0)22MFMBBF因为MFPC,所以(0,3,3)MFPC所以有120332332,这个方程组无解所以假设错误,即问题得证18.解:(Ⅰ)因为,ab2221,所以,,abc211所以离心率cea22(Ⅱ)法一:设1122(,),(,)AxyBxy显然直线l存在斜率,设直线l的方程为(2)ykx所以()xyykx22122,所以()kxkxk222221882028160k,所以k212所以kxxkkxxk212221228218221因为22'(,)Bxy所以221212|'|()()ABxxyy因为22212121222816()()4(21)kxxxxxxk12121224(2)(2)()421kyykxkxkxxk所以22222281616|'|(21)(21)kkABkk228(21)k22221k因为k2102,所以|'|(2,22]AB法二:设1122(,),(,)AxyBxy当直线l是x轴时,|'|22AB当直线l不是x轴时,设直线l的方程为2xty所以xyxty22122,所以()tyty-222420,28160t,所以t22所以tyytyyt1221224222因为22'(,)Bxy所以221212|'|()()ABxxyy因为2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)txxtytytyytyyyytt所以|'|AB222222168(1)(2)2ttttt4222222282222222(1)(2)222ttttttt因为t22,所以|'|(2,22)AB综上,|'|AB的取值范围是(2,22].19.解:(Ⅰ)因为()xaxxfxe2所以()'()xxaxafxe22当a1时,'()xxxfxe21所以'()fe11,而()fe21曲线()yfx在(1,(1))f处的切线方程为21()(1)eeyx化简得到11eeyx(Ⅱ)法一:因为()'()xxaxafxe22,令()'()xxaxafxe220得,aaaaxx2212242422当a0时,x,'()fx,()fx在区间(0,)的变化情况如下表:所以()fx在[,)0上的最小值为(),()ffx20中较小的值,而2(0)0ef,所以只需要证明()fxe22因为()xaxa22220,所以()xxafxaxxxee22222222设()xaxFxe2,其中x
本文标题:北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(理科)试题(含答案)
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