中考数学易错题专题复习三角形

三角形易错点8：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.易错题9：如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为……………………………………………………………（）A.2.5B.5C.322D.2HGFEBCDA错解：D正解：B赏析：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解.正确的解法是：如图，连接AC、CF，∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴由勾股定理或三角函数可得AC＝2，CF＝32，又∵∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝22ACCF＝22(2)(32)＝25，又∵H是AF的中点，∴CH＝12AF＝12×25＝5.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一.HGFEBCDA易错点9：勾股定理及其逆定理的综合应用，在运用勾股定理及其逆定理计算或证明有关问题时面积法的运用.易错题10：如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为_______________.B'EBCDA错解：3正解：3或32赏析：本题只考虑了∠B′EC＝90°的一种情况而造成错解.本题应分三种情况讨论求解：当∠B′EC＝90°时，如图1，∴∠BEB′＝90°，又由折叠可得∠BEA＝∠B′EA,∴∠BEA＝∠B′EA＝45°，∴△ABE、△AB′E均为等腰直角三角形，∴四边形ABEB′为正方形，点B′落在AD上，∴BE＝3；当∠EB′C＝90°时，如图2，∵由折叠可得∠B＝∠AB′E＝90°，∴点B′恰好落在AC上，∴AB＝AB′＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝22ABBC＝2234＝5，∴CB′＝AC－AB′＝5－3＝2，由折叠得BE＝B′E,设BE＝B′E＝x，则EC＝BC－BE＝4－x，在Rt△EB′C中，由勾股定理得x2＋22＝(4－x)2，解得x＝32＝BE；当∠ECB′＝90°时，则点B′落在CD上，则∠BCA＝∠B′CA＝45°，这与已知四边形ABCD为矩形相矛盾，∴此种情况不存在.故BE的长为3或32.B'EBCDA图1B'EBCDA图2易错点11：锐角三角函数的定义以及运用特殊角的三角函数值的计算易出错.易错题12：如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB于点D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为…………………………………（）A.1B.203C.3D.163BCDAO错解：B正解：D赏析：本题主要对锐角的三种三角函数正弦、余弦及正切的概念理解不清造成错解.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.cbaBCA本题正确的解法是：∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cos∠B＝35,在Rt△ABC中，cos∠B＝CBAB，∴4AB＝35，解得AB＝203，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝22ABBC＝222043（）＝163.（也可用∠B的正弦或正切求解）易错点12：解直角三角形的应用，特别要注意通过作辅助线将图形转化为直角三角形的方法.易错题13：为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出_______个这样的停车位.（2＝1.4）56米错解：18正解：17赏析：本题可能对题意没有理解清楚，不知怎样求每个车位所占路段长而导致错解，也可能是计算出错导致错解.正确的解法是：首先计算右侧第一个车位所占路段长：如图1，由题意，得△ACB、△EDB均为等腰直角三角形，在△EDB中，cos∠EBD＝BDBE,∴BD＝BEcos∠EBD＝2.2×22＝1.1×1.4＝1.54，同理，CB＝ABcos∠ABC＝5×22＝2.5×1.4＝3.5，∴CD＝CB＋BD＝1.54＋3.5＝5.04（米），即第一个车位所占路段长；再计算每增加一个车位所需路段长：如图2，由题意，得△ABC为等腰直角三角形，∵cos∠CAB＝ACAB,∴AB＝coscos45ACACCAB＝2.2×22＝2.2×1.4＝3.08（米），即每增加一个车位所需路段长；接下来，可设可以划出x个车位，由题意，得5.04＋3.08(x－1)≤56，解得x≤54.043.08≈17.5，∵x取最大整数，∴x＝17.注意：本题结果取近似值时应采用去尾法，只舍不入，这也是造成本题错解的可能原因之一.EBCDA图1BCA图2易错点13：相似三角形的性质，三角形相似的判定.易错题14：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，其内部放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为…………………………………………………………………（）A.5B.6C.7D.8x43BCA错解：A正解：C赏析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从而造成错解.本题应找出能够用3,4，x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解，如图，∵∠C＝90°，∴∠CFG＋∠CGF＝90°，又∵∠EFG＝90°，∴∠DFE＋∠CFG＝90°，∴∠DFE＝∠CGF，又∵FG∥HM，∴∠CGF＝∠GMH，∴∠DFE＝∠GMH，又∵∠DEG＝∠GHM＝90°，∴△DFE∽△GMH，∴DEFEGHMH,∵DE＝3，GH＝x－4，FE＝x－3，MH＝4，∴3344xx，化简得x2－7x＝0，∴x1＝0，x2＝7，∵x＞0，∴x＝7.MHGx43FEBCDA易错点14：相似三角形面积之比等于相似比的平方.易错题15：如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则ADAB＝_______.EBCDA错解：12正解：22赏析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之比等于相似比的平方.正确的解法应是：∵S△ADE＝S四边形DBCE，∴设S△ADE＝x，则S四边形DBCE＝x，∴S△ABC＝x＋x＝2x，∴122ADEABCSxSx，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴2()ADEABCSADSAB，∴21()2ADAB，∴1222ADAB.易错点15：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.易错题16：如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上一点，AE＝1，M为射线AD上一动点，AM＝a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G.（1）若M为边AD的中点，求证：△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值.MGFEBCDA错解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠MDF＝90°，∵M为边AD的中点，∴MA＝MD，在△MAE和△MDF中，∵AMDFAMEDMFMAMD,∴△MAE≌△MDF（AAS），∴EM＝FM，又∵MG⊥EM，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形；【来源：21cnj*y.co*m】（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM2＝1＋a2，在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20.在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2＋EM2，∴CM2＝20＋(1＋a2)＝20＋1＋a2＝21＋a2，∴CM＝221a.∵点G与点C重合，∴GM＝221a.（3）如图3，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴MD＝AD－AM＝4－a，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM＝21a.∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，∴△MAE∽△MDF，∴AMEMDMFM,∴214aaaFM,∴FM＝241aaa，∴EF＝EM+FM＝21a+241aaa＝241aa.由（2）得，MG＝221a，∴△EFG的面积S＝12×EF×MG＝12×241aa×221a＝222121aaa，∴当a＝2时，S最小，为S＝222122122＝55.MGFEBCDA图1M(G)FEBCDA图2MGFEBCDA图3NMGFEBCDA图4正解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠MDF＝90°，∵M为边AD的中点，∴MA＝MD，在△MAE和△MDF中，∵AMDFMAMDAMEDMF,∴△MAE≌△MDF（ASA），∴EM＝FM，又∵MG⊥EM，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形；（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM2＝1＋a2，在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20.在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2－EM2，∴CM2＝20－(1＋a2)＝20－1－a2＝19－a2，∴CM＝219a.∵点G与点C重合，∴GM＝219a.（3）如图4，过点M作MN⊥BC于点N，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴MD＝AD－AM＝4－a，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM＝21a.∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，∴△MAE∽△MDF，∴AMEMDMFM,∴214aaaFM,∴FM＝241aaa，∴EF＝EM+FM＝21a+241aaa＝241aa.∵AD∥BC，∴∠MGN＝∠DMG，∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠DMG＝90°，∴∠AEM＝∠DMG，∴∠MGN＝∠AEM，∵∠MNG＝∠MAE＝90°，∴△MNG∽△MAE，∴AMEMMNMG,∴213aaMG,∴MG＝231aa，∴△EFG的面积S＝12×EF×MG＝12×241aa×231aa＝266a，∵a2越大，S就越小，且S为最小整数值，∴当a2＝6，即a＝6时，S有最小整数值，为S＝1＋6＝7.赏析：第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚，第二小题错在第三次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，不能拿来用，应另求高MG的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.易错练1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB，若DG=3，EC=1，则DE的长为……………………（）A.23B.22C.6D.10GFEBCDA第1题图i=1：3BCDA第2题图FEBCDA第3题图2.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为15米，斜面坡度为1︰3，则斜坡AB的长为…………………………………………………………………………………………（）A.53米B.55米C.105米D.30米3.如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEF＝1，则S四边形ABFE＝________________.4.小明坐于堤边垂钓，河堤AC的坡角为30°，AC长332米.钓竿AO的倾斜角是60°，其长