定积分的概念讲课稿

§6.1定积分的概念这些图形的面积该怎样计算？?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题引入?Ay=f(x)baxyO三国时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽三国时期的数学家刘徽的割圆术当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽三国时期的数学家刘徽的割圆术当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积,1210bxxxxxxanii(1)分割：).,2,1(1nixxxiii在区间[]a,b任意插n个分点，把[]a,b分成n个小区间：).,2,1(,1nixxii每个小区间的长度y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2∆𝒙𝒊实例1（求曲边梯形的面积）y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2（2）近似方案1方案2方案3特例（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．3观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．23观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．33观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．43观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．53观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．63观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．73观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．83观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．93观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．103观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．113观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．123观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．133观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．143y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi（2）近似：小曲边梯形面积某一点处的函数值（3）求和：=1AAnii=A()Δiiifξx1[]，ii-iξx,x1()Δniii=fξxy=f(x)baxyOxif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xi（4）取极限iniixfA)(lim10xxif(xi)x1x2f(x1)f(x2)x1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)xif(x1)f(x2)xif(xi)x1x2λ{Δ}i1in=maxx,f(x1)f(x2)xif(xi)x1x2V(T),0)(tv上的连续函数,且实例2（求变速直线运动的路程）AB计算在这段时间设物体作直线运动,已知速度)(tvv],[21TT是时间间隔内物体所经过的路程。（1）分割1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）近似iinitvs)(1（4）取极限iniitvs)(lim10},{max1init（3）求和t1T2T0t1t2t1itit1ntnti212101TtttttTnn，iniitvs)(lim10λ0Alim()Δniii=1=fξx实例2（求变速直线运动的路程）实例1（求曲边梯形的面积）设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取作乘积iixf)(x),2,1(i并作和iinixfS)(1x，二、定积分的概念定义一点ix（iixx），也不论在小区间上],[1iixx点怎样的取法，ix只要当时，0和总趋于S确定的极限，I我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和注意：（2）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（3）定义中区间的分法和ix的取法是任意的.（4）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.（1）定积分是积分和的极限，是一个确定的数值.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值y)(xfyaxbxxoAy)(xfyaxbxAxo三、定积分的几何意义abyx1A2A3A4A5A()dbafxx各部分面积的代数和12345AAAAAy=()fx20(1)dxxsin例3根据几何意义推出定积分的值：11(2)dxx111d2121112xxA1o2-11A2A2120d0xxAAsinxyo1-112A1A例4利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iixx，(ni,,2,1)nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nniinix210limxnnn121161lim.31iinixf)(1xiinix21x1Δn2iii==xxdxx102即n0又对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．三、定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.（定积分对于积分区间具有可加性）a,b,cR性质3,恒有性质4如果在区间],[ba上()1fx≡，则()bafxdx=b-a𝑎𝑏𝑓(𝑥)1则0)(dxxfba.)(ba如果在区间],[ba上0)(xf，性质5则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，推论1：)(badxxfba)(dxxfba)(.推论2：设M及m分别是函数（此性质可用于估计积分值的大致范围）)()()(abMdxxfabmba.上的最大值及最小值，则性质6：)(xf在区间],[ba例5估计积分dxx03sin31的值.解,sin31)(3xxf],,0[x,1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点x，使dxxfba)())((abfx.)(bax积分均值公式定积分均值公式性质7：在区间],[ba上至少存在一个点x，积分均值公式的几何解释：xyoabx)(xf使得以区间],[ba为以曲线)(xfy为曲底边，边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(xf的一个矩形的面积。