2016年全国初中数学联赛试题

2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．用[]x表示不超过x的最大整数，把[]xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba（）A.12．B.32．C.1．D.3．【答】A.∵12323t，而3234，∴331at.又∵23t，而4233，∴(4)23bt.∴11112331122222(23)31ba.2．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案共有（）A．9种．B．10种．C．11种．D．12种．【答】C.设购买三种图书的数量分别为,,abc，则30abc，101520500abc，易得202ba，10ca，于是a有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c，所以，不同的购书方案共有11种.3．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”。如:3321(1)，332631，2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．6858．B．6860．C．9260．D．9262．【答】B.注意到332(21)(21)2(121)kkk，由22(121)2016k得||10k.取k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过2016的“和谐数”，它们的和为333333333[1(1)](31)(56)(1917)1916860.2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）4．已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8,CD＝2，则△BCE的面积为（）A.12．B.15．C.16．D.18．【答】A.设OCx，则OAOD2x，在Rt△OAC中，由勾股定理得222OCACOA，即2224(2)xx，解得3x.又OC为△ABE的中位线，所以26BEOC.所以直角△BCE的面积为1122CBBE.5．如图，在四边形ABCD中，90BACBDC，5ABAC，1CD，对角线的交点为M，则DM＝（）A.32．B.53．C.22．D.12．【答】D.作AHBD于点H，易知△AMH∽△CMD，所以AHAMCDCM，又1CD，所以AMAHCM①设AMx，则5CMx.在Rt△ABM中，可得255ABAMxAHBMx.所以，由①式得2555xxxx，解得52x（另一解25x舍去）.所以52CM，2212DMCMCD.6．设实数,,xyz满足1xyz，则23Mxyyzxz的最大值为（）A.12．B.23．C.34．D.1．【答】C.23(23)(1)Mxyyzxzxyyxxy2234232xxyyxy22221112[2()()]332()222yxyxxxx22112()22yxxx2211332()()2244yxx，所以23Mxyyzxz的最大值为34.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）EDCOAB2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）HMDBCA1．已知△ABC的顶点A、C在反比例函数3(0)yxx的图象上，90ACB，ABC＝30°，AB⊥x轴，点B在点A的上方，且AB＝6，则点C的坐标为_______．【答】3(,2)2.作CDAB于点D，易求得332CD，32AD.设3(,)Cmm，3(,)Ann，结合题意可知0nm，3(,)Dnm，所以CDnm，33ADmn，故332nm，3332mn，联立解得32m，23n.所以，点C的坐标为3(,2)2.2．在四边形ABCD中，//BCAD，CA平分BCD，O为对角线的交点，CDAO，BCOD，则ABC＝．【答】126.因为//BCAD，CA平分BCD，所以DACACBACD，所以DADC，又CDAO，所以ADAO，所以ADOAOD.记DACACBACD＝，ADOAOD.又//BCAD，所以△ADO∽△CBO，结合ADAO可得OCBC，且CBOCOB.又BCOD，所以OCOD，所以ODCOCD.结合图形可得：2且2180，解得36，72.所以72DBCDCB，所以BDCDAD，所以54DABDBA，于是可得126ABCABDDBC.3．有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数.这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是．【答】167334.设两个三位数分别为x和y，由题设知10003xyxy①由①式得31000(31000)yxyxyx，故y是x的整数倍，不妨设ytx（t为正整数），代入①式得10003ttx，所以10003txt.因为x是三位数，所以10001003txt，从而可得1000299t，又t为正整数，故t的可能的取值只能是1，2，3.验证可知：只有t＝2符合题意.所以t＝2，167x，334y，所求的六位数为167334.4．将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M，则M的最大值为．【答】10.2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共7页）OADCB依据5个1分布的列数的不同情形分别求M的最大值.若5个1分布在同一列，则M＝5；若5个1分布在两列中，则由题设知这两列中出现的最大数至多为3，故2515320M，所以10M；若5个1分布在三列中，则由题设知这三列中出现的最大数至多为3，故351525330M，所以10M；若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，与题设矛盾.综上所述，10M；另一方面，右边给出的例子说明M可以取到10.故M的最大值为10.第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.题目和解答与（A）卷第1题相同.2．题目和解答与（A）卷第2题相同.3．已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）.当ab为整数时，ab＝（）A．0．B．14．C．34．D．2．【答】B.由于二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点（1，0）和（0，1），故0a，02ba，10ab，所以0b且1ba，于是可得10a.当21aba为整数时，因为1211a，所以210a，故12a，12b，所以14ab.4．题目和解答与（A）卷第4题相同.5．题目和解答与（A）卷第5题相同.6.题目和解答与（A）卷第6题相同.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知△ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD，则AM＝_______．【答】2.显然ABCACB.若ABCACB，则由已知条件易知△ADM≌△ADB，所以BDDM12CM.又因为AM平分DAC，所以，由角平分线定理可得12ADDMACCM，即1cos2DAC，所以DAC＝60，进而可得90BAC，30ACD.在Rt△ADC中，3AD，30ACD，可求得3CD，所以1DM.在Rt△ADM中，由勾股定理得222AMADDM.若ABCACB，同理可求得2AM.11145112452224533245333452016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共7页）2．题目和解答与（A）卷第1题相同.3．若质数,pq满足：340qp，111pq.则pq的最大值为．【答】1007.由340qp得34pq，所以(34)pqqq，显然(34)qq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时pq取得最大值.又因为111pq，即pq＝44q111，所以29q.因为q为质数，所以q的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q＝23时，34pq＝65，不是质数；当q＝19时，34pq＝53，是质数.所以，q的最大值为19，pq的最大值为53×19＝1007.4.题目和解答与（A）卷第3题相同.第二试（A）一、（本题满分20分）已知,ab为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值.解因为,ab为正整数，要使得22324Maabb的值为正整数，显然有2a.当2a时，b只能为1，此时4M，故22324Maabb能取到的最小正整数值不超过4.„„„„„„5分当3a时，b只能为1或2.若b＝1，则M18；若b＝2，则M7.当4a时，b只能为1或2或3.若b＝1，则M38；若b＝2，则M24；若b＝3，则M2.„„„„„„10分下面考虑：22324Maabb的值能否为1？若1M，即223241aabb，即22325aabb①，注意到25b为奇数，所以a是奇数，b是偶数，此时，223aab被4除所得余数为3，25b被4除所得余数为1，故①式不可能成立，即1M.因此，22324Maabb能取到的最小正整数值为2.„„„„„„„„20分二、（本题满分25分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CDAB于点D，点E在BD上，AEAC，四边形DEFM是正方形，AM的延长线与⊙O交于点N.证明：FNDE.证明连接BC、BN.∵AB为⊙O的直径，CDAB，∴90ACBANBADC.∵CABDAC，ACBADC，∴△ACB∽△ADC，∴ACABADAC，∴2ACADAB.„„„„„„„„5分又由DEFM为正方形及CDAB可知：点M在CD上，2016年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共7页）N(P)FMECBOADDEDMEFMF.∵NABDAM，ANBADM，∴△ANB∽△ADM，∴ANABADAM，∴ADABAMAN.∴2ACAMAN，又AEAC，∴2AEAMAN.„„„„„„„„15分以F为圆心、FE为半径作⊙F，与直线AM交于另一点P，显然：⊙F与AB切于点E.于是，由切割线定理可得2AEAMAP.∴ANAP，∴点N即为点P，∴点N在⊙F上，∴FNFEDE.„„„„„„„„25分三、（本题满分25分）已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx.（1）求111xyyzzx的值.（2）证明：9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx.解（1）由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx得222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4zxyxyzyzxxyz