Lecture 3-02

3.3二阶自回归模型:AR（2）3.3.1AR（2）过程的基本定义和性质1122ttttycyy2(0,)tiid:11221212212(1)10tttttttycLyLyLLycyLLAR与滞后算子多项式（）对应的特征方程(characteristicequation)为定理：如果特征方程所有根都落在单位圆内，则（2）过程为平稳过程。12012(),()[](),)(ttttLycyLcLLLL因此，其利用滞中，后算子可得L120112112()1AR1tttttLcccLccyy因为滞后算子的特性，所以最终我们可以把（2）模型写成是随机扰动项的函数，即：L3.3.2AR（2）过程的均值121c3.3.3AR(2)的方差、自协方差与自相关函数112212121122(1)(1)ttttttttycyycyyy由可得112211221122()(),tttttjjjjjjjyyyy并进而整理得两侧同乘以然后取期望，得根据自相关函数的定义，得关系式因此，又因为自相关函数具有以下性质可得自相关函数在前2期的解析表达式11021211200001jj，112221222211进而可推导出平稳AR（2）模型的方差解析表达式：22022221(1)(1)[(1)]图3.8AR(2)模型生成的序列数据(a)-4-2024102030405060708090100120.20.1ttttyyy图3.8AR(2)模型生成的序列数据(b)-6-4-2024102030405060708090100120.60.3ttttyyy图3.8AR(2)模型生成的序列数据(c)-2-101234102030405060708090100120.60.3ttttyyy3.4p阶自回归模型:AR(p)3.4.1AR(p)过程的基本定义和性质1122212()()()1tttptptttppppycyyyLycLLLLL一般地，阶AR模型记做AR()，通常写作：使用滞后算子,还可以写作：其中，为滞后算子多项式，定义为：LL121212AR0AR()(1)(1)(1)1ARpppppippLLLLp（）模型的基本形式对应的特征根方程：如果特征根方程所有的根都落在单位圆内，则（）平稳的。在有些情况下，还可以把滞后算子多项式进行因式分解，即：如果条件满足，则（）模型平稳。LL3.4.2AR(p)过程的均值1122121221212AR1(1)(1)11111tttptptpppppycyyycppcc对左右取期望，则得到：从而求解出（）过程的均值模型：第二个等号利用了滞后算子多项式的性质：LLLLL3.4.3AR（2）过程的方差和自协方差1122()()ttttyyy1122()()()()()()()()[()]jttjttjttjptptjttjEyyEyyEyyEyyEyL故有：（3.77）112221122,0,0jjpjpjjjpjpjjLL2011222AR..0,1,2,,.1,1,2,,1jjppijppipp利用平稳过程的性质，模型（377）中第2个等式就是：分析模型（377）可知，对于，模型（377）实际上给出了个等式，用以刻画自协方差、自回归系数（）和白噪音过程的方差之间的关系，从而这个等式的解有以下两种情况。LLL（1）如果自回归系数和白噪音的方差已知，那么它们可以用来解出AR（p）过程的自协方差。这里，维列向量由下面维矩阵的第一个列向量的p个值唯一确定：其中：表示维的单位矩阵，F是在第2章中定义的维矩阵，符号表示“克罗内克”乘积。(1,2,,)iipL201,,,pL(1)p22()pp221[()]pFF2p2p()pp111212122212nnmmmnaBaBaBaBaBaBABaBaBaBLLMMLML“克罗内克”乘积3.4.4AR(p)过程的自相关函数ACF服从于勒-沃克等式（Yule-Walkerequations）1122,1,2,jjjpjpj…L例子:在AR(2)过程里，110212112031221M实例应用AR（2）过程：其特征根方程为：120.40.32ttttyyy210.40.32(10.8)(10.4)图3.90.00.20.40.60.81.005101520253035ACFofAR(2),ALPHA1=0.4,ALPHA2=0.32图3.10需要注意，对于AR（2）模型来说，随着滞后期j的增大，自相关函数（绝对值）不一定总是单调递减的！这一点与AR（1）模型不同，因为对于平稳AR（1）模型来说，自相关函数的绝对值一定是单调递减的。为了说明这一点，现在考虑另外一个AR（2）模型：120.40.45ttttyyy图3.110.00.20.40.60.81.005101520253035ACFofAR(2),ALPHA1=0.4,ALPHA2=0.45图3.12-1.0-0.50.00.51.005101520253035作为最后一个示范，图3.12给出了另外一个AR（2）模型对应的自相关函数图。请读者思考，这个自相关函数图为什么会出现震荡式衰减形式？是什么因素决定了这种表现形式？如果给定一个AR（3）模型，如何绘制对应的自相互函数图呢？