行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别 江兵兵

行列式与矩阵从概念到运算的联系与区别江兵兵（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水74100）摘要：行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果，是两个完全不同的概念，那么它们之间有着怎样的联系与区别，本文通过详细举例论证对行列式与矩阵从其概念的定义到有关运算方面的联系与区别做了详细说明，使读者对行列式与矩阵有了进一步的认识，达到灵活熟练的运用相关知识解决有关问题。关键字：行列式；矩阵；概念；运算；转置ThedeterminantandtherelationshipanddifferencematrixfromconcepttooperationJiangBingbing(SchoolofMathematicsandStatisticstianshuiNormalUniversity,Tianshui74100)Abstract:determinantandmatrixisbasictheoryoftworelativelyindependentasaresult,aretwoentirelydifferentconcepts,sotherelationshipanddifferencebetweenthemhavehow,forexampledemonstratedinthisarticle,throughdetaileddeterminantandmatrixfromthedefinitionoftheconcepttotheoperationmadedetailedaspectsoftherelationanddistinctionbetween,makereaderstohavefurtherunderstandingofthedeterminantandmatrix,toachieveflexibleuseofrelatedknowledgeskilledtosolvetheproblem.Keywords:thedeterminant;Matrix;Concept;Calculations;transpose引言..................................................................................................................................................1一概念方面.....................................................................................................................................11联系.......................................................................................................................................1矩阵概念的产生的观点来源于行列式...........................................................................22区别..............................................................................................................................................2（1）定义方面相区别.....................................................................................................2表示方法...........................................................................................................................5(2)矩阵的子式.................................................................................................................8有关区别.........................................................................................................................................101）加（减）法方面.......................................................................................................10(2)乘法方面...................................................................................................................10(3)数乘方面...................................................................................................................11转置方面.........................................................................................................................12(5)变换方面相区别.......................................................................................................12【参考文献】.................................................................................................................................131行列式和矩阵从概念到运算的联系与区别引言行列式与矩阵是两个相对独立的基本理论结果，是两个不同的概念，但是我们在学习行列式与矩阵时，可以说一个行列式是几行几列的，也可以说一个矩阵是几行几列的，可见矩阵与行列式之间是既有区别也有一定联系的.本文阐述矩阵与行列式相关概念以及运算方面的规律，并对知识点列举一定的典型例题，通过分析总结，归纳出矩阵与行列式从概念性质到运算方面的联系与区别。一概念方面1联系（1）由矩阵概念可推广得到行列式的概念由nm个数)......2,1,......2,1(njmiaij(i=1,2,......m,j=1,2,......n)排成m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称nm矩阵，记为aaaaaaaaamnmmnn212222111211其中数aij称为矩阵位于i行j列处的元素，矩阵可简记为A.当nm时，A称为n阶方程或是n阶矩阵.这时有2A=aaaaaaaaamnmmnn212222111211其中n阶行列式aaaaaaaaamnmmnn212222111211称为矩阵A的行列式，记作A或者detA.矩阵概念的产生的观点来源于行列式凯雷是公认的矩阵论创始人，他在1955年一篇文章中谈到矩阵概念的起源，说“我绝不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是从行列式的概念而来，或是作为方程组dycxybyaxx''的表达式而来的。”可见，行列式理论对矩阵理论的产生和发展起促进作用，矩阵概念产生的一种观点就是来源于行列式。凯雷给出了逆矩阵的定义：设dcbaA，则A的逆矩阵AAA*'1，其中A是矩阵A的行列式。可见，逆矩阵的原始定义是离不开行列式的。由此可见，矩阵理论得以迅速发展，其原因之一就在于矩阵与行列式的密切关系.2区别（1）定义方面相区别行列式的相关定义3对于二元线性方程组bxaxabxaxa22221211212111，用消元法来解这个方程组可得babaxaaaababaxaaaa121211221122211212122121122211)()(，当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即)/()(211222112121221aaaababax，)/()(211222111212112aaaababax，我们称aaaa21122211为二阶行列式，用符号表示为aaaaaaaa2221121121122211二阶行列式是2！项的代数和，其中每一项是位于不同行，不同列的元素的乘积，把这两个元素按行指标的自然序列排好，其列指标所成排列是偶排列时，该项为正；奇排列时为负。于是二阶行列式aaaaaajjjjjn212121),(22211211)1(n阶行列式aaaaaaaaamnmmnn212222111211是n！项的代数和，其中每一项都是位于不同行不同列元素的乘积，把这n个元素以行指标为自然序列排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，该项为正；是奇排列时，该项为负，即4jjjjjjjjjnnnaaaaaaaaaaaanmnmmnn21212121),(212222111211)1(其中jjjn21,是n元排列，jjjn21,表示对所有n元排列求和.上式称为n阶行列式的完全展开式。综上所述，n阶行列式An是按一定顺序排成的n行n列元素按照某一个特定的规则确定的!n项的代数和，归根结低是一个数.矩阵的相关定义在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针方向的转轴),那么平面直角坐标变换的公式为cossinsincos````yxyyxxs其中为x轴与x'轴的夹角，显然新旧坐标之间的关系完全通过系数所所排成的22矩阵cossinsincos表示出来。在空间的情形，保持原点不动的坐标系的变换公式是zayaxazzayaxayzayaxax`33`32`31`23`22`21`13`12`11同样，矩阵5aaaaaaaaa333231322221131211就称为坐标变换的矩阵。有nm个数......)2,1......;2,1(jiaij排成m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称nm矩阵，记为aaaaaaaaamnmmnn212222111211其中数aij称为矩阵位于i行j列处的元素，矩阵可简记为A.综上所述，Anm矩阵是nm个数按一定方式排成的m行n列数表，归根结底是一个数表.表示方法根据行列式的定义知，书写行列式时在数表的两端加；书写矩阵时在数表两端加或.例，dcba表示行列式.dcba表示矩阵.(3)行数和列数的关系根据行列式的定义知，行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以将行列式称为n阶行列式，n即为行列式中的行数或列数。由6矩阵的定义知，矩阵中行数和列数无丝毫关系，即行数和列数可以相同，也可以不同.例，aaaaaaaaamnmmnn2