行列式的定义

第三章行列式•§1n阶行列式的定义•§2行列式的性质与计算•§3行列式与矩阵的逆•§4行列式的应用（求矩阵的秩）§1二阶与三阶行列式提示:a11a22x1+a12a22x2=b1a22a22[a11x1+a12x2=b1]a12a12a21x1+a12a22x2=a12b2[a21x1+a22x2=b2](a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2得211222112122211aaaabaabx--=211222112112112aaaaabbax--=b1b2a12a22a11a21a12a22————x1=a11a21b1b2a11a21a12a22————x2=a11a21a12a22我们用符号表示代数和a11a22-a12a21这样就有211222112122211aaaabaabx--=211222112112112aaaaabbax--=用消元法解二元线性方程组a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2得211222112122211aaaabaabx--=211222112112112aaaaabbax--=二元线性方程组与二阶行列式a11a21a12a22行列式中的相关术语我们用表示代数和a11a22-a12a21并称它为二阶行a11a21a12a22列式行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线对角线法则-a12a21=a11a22二阶行列式是主对角线上两元素之积减去副对角线上二元素之积所得的差例1求解二元线性方程组=+=-1212232121xxxx解由于07)4(31223=--=-=D14)2(12112121=--=-=D21243121232-=-==D因此271411===DDx372122-=-==DDx07)4(31223=--=-=D14)2(12112121=--=-=D21243121232-=-==D因此271411===DDx372122-=-==DDxa11a21a12a22-a12a21=a11a22为了便于记忆和计算我们用符号表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31其中方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解为DDx11=DDx22=DDx33=D=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31三阶行列式D1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32-b1a23a32-a12b2a33-a13a22b3D2=a11b2a33+b1a23a31+a13a21b3-a11a23b3-b1a21a33-a13b2a31D3=a11a22b3+a12b2a31+b1a21a32-a11b2a32-a12a21b3-b1a22a31我们用符号表示代数和a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31并称它为三阶行列式行列式中的相关术语对角线法则行列式的元素、行、列、行标、列标、主对角线、副对角线=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31三阶行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31例2计算三阶行列式1-2-3224-41-2D=按对角线法则有解=-4-6+32-4-8-24-(-4)2(-3)+(-4)(-2)4D=12(-2)+21(-3)-114-2(-2)(-2)=-14采用先选定百位数再选定十位数最后选定个位数的步骤全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？解百位数有3种选法十位数有2种选法个位数有1种选法因为321=6所以可以组成6个没有重复数字的三位数321这6个三位数是123132231213312我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列叫做这n个元素的全排列(也简称排列)全排列n个不同元素的所有排列的总数通常用Pn表示Pn的计算公式Pn=n(n-1)(n-2)321=n!在一个排列中如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同就说有1个逆序一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数标准排列在n个自然数的全排列中排列123n称为标准排列逆序与逆序数逆序数的计算在排列p1p2pn中如果pi的前面有ti个大于pi的数就说元素pi的逆序数是ti排列的逆序数为t=t1+t2++tn奇排列与偶排列逆序数为奇数的排列叫做奇排列逆序数为偶数的排列叫做偶排列n阶行列式的定义一、二阶行列式和三阶行列式的结构二、n阶行列式的定义三、几种特殊的行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31a11a21a12a22=a11a22-a12a21一、二阶行列式和三阶行列式的共同结构(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成例如三阶行列式的结构可归纳如下：321321pppaaa其中p1p2p3是1、2、3的某个排列(2)各项所带的正负号可以表示为(-1)t其中t为列标排列的逆序数（3）总共有P3=3!项，即项数等于1、2、3三个数构成的排列总数。三阶行列式可以写成-=321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中t为排列p1p2p3的逆序数∑表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和二、n阶行列式的定义特别规定一阶行列式|a|的值就是a由矩阵A=(aij)中的n2个数aij(ij=12n)构成的代数和-nnppptaaa)1(2121称为n阶行列式记为nnnnnnaaaaaaaaaD=212222111211简记为det(aij)其中p1p2pn为自然数12n的一个排列t为这个排列的逆序数∑表示对所有排列p1p2pn取和在n阶行列式D中数aij为行列式D的(ij)元注：（1）n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和。其中构成一个n级排列，当为偶排列时，取正号，当为奇排列时，取负号。共有n!项。(2)4阶及4阶以上的行列式无对角线法则可言。nnpppaaa...2121nppp...21nnpppaaa...2121nppp...21nppp...21nnpppaaa...2121三、几种特殊的行列式1.对角行列式(1)主对角行列式n...21321=证明：若记i=ain-i+1则依行列式定义=(-1)ta1na2n-1an1其中t为排列n(n-1)21的逆序数故t=0+1+2++(n-1)2)1(-=nnnnnnD)1(212)1(21-==-11,21nnnaaaD=-nnnD)1(212)1(-=-因此=(-1)t12n(2)次对角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD0000002211321333231222111==（1）下三角行列式证明：因为它的列标排列为标准排列其逆序数为0所以在它前面带有正号要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零第一行只能取a11第二行只能取a22第三行只能取a33第n行只能取ann这样的乘积项只有一个即a11a22a33ann因此D=a11a22a33ann2.三角行列式（2）上三角行列式nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa......000..................00...0...2211333223221131211=（3）次下三角行列式1,1,2,12)1(,1,1,,21,2,1...)1(..................00...0nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa-----=（4）次上三角行列式1,1,2,12)1(1,1,221,11,111...)1(00...............0......nnnnnnnnnaaaaaaaaa-----=nnnnnnaaaaaaaaaD=212222111211jiijaa=jiijaa-=若若则称D为对称行列式则称D为反对称行列式.定义：设3.对称行列式与反对称行列式例1在6阶行列式det(aij)中元素乘积a15a23a32a44a51a66前应取什么符号?解列标排列532416它的逆序数为t=0+1+2+1+4+0=8它是偶排列所以在该乘积项的前面应取正号补充例题例2用行列式定义计算行列式1100001001011010=D为使取自不同行不同列的元素的乘积不为0第1列只能取a21第3列只能取a43第4列只能取a14第2列只能取a32四个元素的乘积为a21a43a14a32即a14a21a32a43其列标排列为4123它的逆序数为3是奇排列所以D=(-1)3a14a21a32a43=-a14a21a32a43=-1解排列的对换在排列中将任意两个元素对调其余的元素不动就得到另一个排列这种对排列的变换方法称为对换将相邻两个元素对换叫做相邻对换对换举例在排列21354中对换1与4排列21354的逆序数是2经过对换排列的奇偶性发生了变化得到的排列是24351排列24351的逆序数是5性质1一个排列中的任意两个元素对换排列改变奇偶性其中t为行标排列p1p2pn的逆序数n阶行列式也可定义为定义1的等价定义-nppptnaaa)1(2121性质2在行列式的每项乘积中交换两元素的位置，行标和列标同时变换，行标和列标的逆序数之和保持奇偶性。定义1的另一个等价定义n阶行列式也可定义为的逆序数。为排列的逆序数为排列级排列。均为与其中nnnnqpqpqpstqqqsppptnqqqpppaaann............,...)1(212121212211+-二、行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行(列)展开法则（1）、余子式与代数余子式在n阶行列式D=det(aij)中把元素aij所在的第i行和第j列划去后剩下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式记作Mij记Aij=(-1)i+jMijAij叫做元素aij的代数余子式55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD=5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaM=A23=(-1)2+3M23=-M23例如已知则a23的余子式和代数余子式为引理在n阶行列式D中如果第i行元素除aij外都为零那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积即D=aijAij（2）、行列式按行(列